解説

方針・初手

2つの分数の分母がそれぞれ $\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$ と $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ となっていることに着目する。これらは $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を1つのまとまりと見ると、和と差の形になっている。したがって、それぞれの分数を個別に有理化するよりも、このまま通分を先に行う方が、分母が $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ の形になって根号を減らしやすくなり、計算量が少なく済む。

解法1

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ をひとまとめにして、与式を通分して計算する。

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}} - \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\} - \{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}} \\ &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) + \sqrt{5} - (\sqrt{2}+\sqrt{3}) + \sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{(2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{5 + 2\sqrt{6} - 5} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \end{aligned} $$

最後に、分母を有理化する。

$$ \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} $$

解説

分母に根号が3つ含まれる分数の計算では、2つの項を1つの塊と見て計算を進めるのが定石である。今回は $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を1つの塊とみなすことで、2つの分母が互いに共役な関係（符号違い）になるように仕組まれている。この形を見抜ければ、面倒な有理化の手間を大幅に省くことができる。

答え

$$ \frac{\sqrt{30}}{6} $$