解説

方針・初手

二重根号を外すために、根号内の分数を通分し、分子分母に $2$ を掛けて $\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}}$ の形を作るのが定石である。あるいは、与式全体を $X$ とおき、$X^2$ を計算してから $X$ の値を求める手法も有効である。その際、$X$ の符号の確認を忘れないようにする。

解法1

与えられた式のそれぞれの項の根号内を通分して変形する。

$$ 2 + \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{4 + \sqrt{15}}{2} $$

二重根号を外すために、分母・分子に $2$ を掛ける。

$$ \frac{4 + \sqrt{15}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} $$

和が $8$、積が $15$ となる $2$ つの正の数は $5$ と $3$ であるから、

$$ \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{4} $$

よって、第 $1$ 項は次のように二重根号が外れる。

$$ \sqrt{2 + \frac{\sqrt{15}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{4}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} $$

同様にして、第 $2$ 項の根号内を変形する。

$$ 2 - \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{4 - \sqrt{15}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{4} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{4} $$

ここで、$\sqrt{5} > \sqrt{3}$ であることに注意すると、第 $2$ 項は次のように外れる。

$$ \sqrt{2 - \frac{\sqrt{15}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{4}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $$

したがって、求める式の値は、

$$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

解法2

求める式の値を $X$ とおく。

$$ X = \sqrt{2 + \frac{\sqrt{15}}{2}} - \sqrt{2 - \frac{\sqrt{15}}{2}} $$

$2 + \frac{\sqrt{15}}{2} > 2 - \frac{\sqrt{15}}{2} > 0$ より、$\sqrt{2 + \frac{\sqrt{15}}{2}} > \sqrt{2 - \frac{\sqrt{15}}{2}}$ であるから、$X > 0$ である。

$X$ の両辺を $2$ 乗すると、

$$ X^2 = \left( \sqrt{2 + \frac{\sqrt{15}}{2}} - \sqrt{2 - \frac{\sqrt{15}}{2}} \right)^2 $$

$$ X^2 = \left(2 + \frac{\sqrt{15}}{2}\right) - 2\sqrt{\left(2 + \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\left(2 - \frac{\sqrt{15}}{2}\right)} + \left(2 - \frac{\sqrt{15}}{2}\right) $$

整理すると、

$$ X^2 = 4 - 2\sqrt{4 - \frac{15}{4}} $$

$$ X^2 = 4 - 2\sqrt{\frac{1}{4}} $$

$$ X^2 = 4 - 2 \cdot \frac{1}{2} $$

$$ X^2 = 3 $$

$X > 0$ であるから、

$$ X = \sqrt{3} $$

解説

二重根号を外す計算の典型問題である。$\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ の公式（ただし $a > b > 0$）を適用するためには、内側のルートの前に「$2$」という係数が必要になる。本問のように係数がない場合や分数になっている場合は、ルートの中の式の分母分子を何倍かして、無理やり「$2$」を作り出す操作がポイントとなる。

また、解法2のように、差の形をした式全体を $2$ 乗して計算を進めるアプローチも非常に有用である。ただしこの手法を用いる際は、求める値が正なのか負なのかをあらかじめ確認しておくプロセスを忘れてはならない。

答え

$$ \sqrt{3} $$