解説

方針・初手

根号の中身が完全平方式になっていることに気づくのが第一歩である。実数 $X$ について $\sqrt{X^2} = |X|$ が成り立つ性質を用いて、与式を絶対値記号を含む式に書き直す。その後、指定された $x$ の値の範囲にしたがって絶対値記号を外して式を整理する。

解法1

与えられた式を $P$ とおく。

$$ P = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 4x + 4} $$

根号の中身をそれぞれ因数分解すると、以下のようになる。

$$ P = \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x + 2)^2} $$

ここで、任意の実数 $a$ に対して $\sqrt{a^2} = |a|$ が成り立つため、絶対値記号を用いて次のように表せる。

$$ P = |x - 1| - |x + 2| $$

与えられた $x$ の範囲ごとに場合分けを行って絶対値記号を外す。

**(ア) $x > 1$ のとき**

$x - 1 > 0$ かつ $x + 2 > 0$ であるから、絶対値記号はそのままとることができる。

$$ \begin{aligned} P &= (x - 1) - (x + 2) \\ &= x - 1 - x - 2 \\ &= -3 \end{aligned} $$

**(イ) $-2 < x < 1$ のとき**

$x - 1 < 0$ かつ $x + 2 > 0$ であるから、$|x - 1| = -(x - 1)$ となることに注意して絶対値記号を外す。

$$ \begin{aligned} P &= -(x - 1) - (x + 2) \\ &= -x + 1 - x - 2 \\ &= -2x - 1 \end{aligned} $$

解説

$\sqrt{X^2}$ を処理する際の基本公式である $\sqrt{X^2} = |X|$ を正しく適用できるかを問う典型問題である。これを誤って $\sqrt{X^2} = X$ としてしまうと、条件によらず一定の誤った結果を導いてしまうため注意が必要である。

絶対値を含む式に変形した後は、絶対値記号の中身の正負を、指定された $x$ の変域から慎重に判定すれば容易に正解へたどり着くことができる。

答え

[ア] $-3$

[イ] $-2x - 1$