解説

方針・初手

4つの括弧の積を展開する。やみくもに展開するのではなく、和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ が使えるように項を組み合わせる。前半の2つの括弧、後半の2つの括弧でそれぞれペアを作ると計算しやすい。

解法1

与式を次のようにグループ分けして展開する。

$$ \text{与式} = \left\{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + \sqrt{7} \right\} \left\{ (\sqrt{3} + \sqrt{5}) - \sqrt{7} \right\} \times \left\{ \sqrt{7} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}) \right\} \left\{ \sqrt{7} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}) \right\} $$

和と差の積の公式より、

$$ \text{与式} = \left\{ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 \right\} \left\{ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 \right\} $$

それぞれの括弧の中を計算する。

$$ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = (3 + 2\sqrt{15} + 5) - 7 = 1 + 2\sqrt{15} $$

$$ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 7 - (3 - 2\sqrt{15} + 5) = -1 + 2\sqrt{15} $$

これらを掛け合わせる。ふたたび和と差の積の公式が使える。

$$ \text{与式} = (2\sqrt{15} + 1)(2\sqrt{15} - 1) = (2\sqrt{15})^2 - 1^2 = 60 - 1 = 59 $$

解法2

文字で置き換えて式を整理してから数値を代入する。 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{5}, c = \sqrt{7}$ とおくと、与式は次のように表される。

$$ (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) $$

前半2つ、後半2つをそれぞれ和と差の積として展開する。

$$ \begin{aligned} & \left\{ (a+b) + c \right\} \left\{ (a+b) - c \right\} \times \left\{ c + (a-b) \right\} \left\{ c - (a-b) \right\} \\ &= \left\{ (a+b)^2 - c^2 \right\} \left\{ c^2 - (a-b)^2 \right\} \\ &= (a^2+b^2+2ab-c^2)(c^2-a^2-b^2+2ab) \end{aligned} $$

さらに、次のように項を組み合わせる。

$$ \begin{aligned} &= \left\{ 2ab + (a^2+b^2-c^2) \right\} \left\{ 2ab - (a^2+b^2-c^2) \right\} \\ &= (2ab)^2 - (a^2+b^2-c^2)^2 \\ &= 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2 \end{aligned} $$

ここで、$a^2=3, b^2=5, c^2=7$ を代入する。

$$ \begin{aligned} \text{与式} &= 4 \cdot 3 \cdot 5 - (3+5-7)^2 \\ &= 60 - 1^2 \\ &= 59 \end{aligned} $$

解説

項が3つある多項式の展開では、そのまま分配法則を用いるのではなく、共通する部分を一つの塊として見立てて $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ の形に持ち込むのが定石である。

なお、本問の式は三角形の3辺の長さが $a, b, c$ であるときの面積を求める「ヘロンの公式」の証明過程に現れる式と本質的に同じ形をしている。解法2のように文字式として最後まで整理してから数値を代入すると、平方根の計算を最小限に抑えることができ、計算ミスのリスクを減らせる。

答え

$59$