解説

方針・初手

与えられた式の2つの項の分母に共通する因数 $\sqrt{2}+1$ に着目する。共通因数でくくってからかっこの中を通分して計算するか、式全体を一気に通分して計算する。

解法1

与式を共通因数 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ でくくって計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{3}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-2)} + \frac{1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)} &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \left( \frac{3}{\sqrt{2}-2} + \frac{1}{\sqrt{2}+2} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{3(\sqrt{2}+2) + (\sqrt{2}-2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{3\sqrt{2} + 6 + \sqrt{2} - 2}{(\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{4\sqrt{2} + 4}{2 - 4} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{4(\sqrt{2}+1)}{-2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \{-2(\sqrt{2}+1)\} \\ &= -2 \end{aligned} $$

解法2

与式全体を通分して計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{3}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-2)} + \frac{1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)} &= \frac{3(\sqrt{2}+2) + (\sqrt{2}-2)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} \\ &= \frac{3\sqrt{2} + 6 + \sqrt{2} - 2}{(\sqrt{2}+1)(2-4)} \\ &= \frac{4\sqrt{2}+4}{-2(\sqrt{2}+1)} \\ &= \frac{4(\sqrt{2}+1)}{-2(\sqrt{2}+1)} \\ &= -2 \end{aligned} $$

解説

各項の分母をそれぞれ展開し有理化しようとすると計算が煩雑になる。共通因数でくくる、あるいは共通因数を残したまま通分することで、計算量が減りミスを防ぐことができる。途中で分子に $4(\sqrt{2}+1)$ が現れ、分母の因数と約分できることに気づけば容易に完答できる。

答え

$$ -2 $$