解説

方針・初手

複数種類の文字（ここでは $x$ と $y$）を含む多項式の因数分解は、特定の1つの文字に着目して降べきの順に整理することが基本である。どの文字について整理しても解くことはできるが、最高次の項の係数が $1$ になる文字（ここでは $y$）について整理した方が、その後のたすき掛けが見えやすくなり計算ミスを減らすことができる。

解法1

与式を $y$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} &3x^2 + y^2 + 4xy - 7x - y - 6 \\ &= y^2 + (4x - 1)y + (3x^2 - 7x - 6) \end{aligned} $$

定数項にあたる $x$ の2次式を因数分解する。

$$ 3x^2 - 7x - 6 = (3x + 2)(x - 3) $$

これを与式に代入する。

$$ y^2 + (4x - 1)y + (3x + 2)(x - 3) $$

ここで、$y$ についてのたすき掛けを考える。かけて $(3x + 2)(x - 3)$、たして $(4x - 1)$ となる2つの式を見つける。

$$ (3x + 2) + (x - 3) = 4x - 1 $$

となるので、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} &\{y + (3x + 2)\}\{y + (x - 3)\} \\ &= (3x + y + 2)(x + y - 3) \end{aligned} $$

解法2

与式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} &3x^2 + y^2 + 4xy - 7x - y - 6 \\ &= 3x^2 + (4y - 7)x + (y^2 - y - 6) \end{aligned} $$

定数項にあたる $y$ の2次式を因数分解する。

$$ y^2 - y - 6 = (y + 2)(y - 3) $$

これを与式に代入する。

$$ 3x^2 + (4y - 7)x + (y + 2)(y - 3) $$

ここで、$x$ についてのたすき掛けを考える。かけて $3$、かけて $(y + 2)(y - 3)$ となり、たすきに掛け合わせてたしたものが $4y - 7$ になる組み合わせを探す。

$$ \begin{aligned} 1 &\times (y + 2) = y + 2 \\ 3 &\times (y - 3) = 3y - 9 \end{aligned} $$

和は $(y + 2) + (3y - 9) = 4y - 7$ となり、$x$ の係数と一致する。

したがって、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} &\{x + (y - 3)\}\{3x + (y + 2)\} \\ &= (x + y - 3)(3x + y + 2) \end{aligned} $$

解説

複数の文字を含む多項式の因数分解における定石である「次数の最も低い文字について整理する」原則に従う問題である。本問では $x$ も $y$ も最高次数は2次であるため、どちらについて整理しても解答可能である。

このような場合は、「最高次の係数がなるべく簡単な数（特に $1$ や $-1$）になる文字」について整理するとよい。解法1のように $y$ について整理すれば、全体でのたすき掛けが不要（係数が $1$ なので和を考えるだけで済む）になり、符号や係数の組み合わせを考える手間を減らすことができる。

答え

$$ (x + y - 3)(3x + y + 2) $$