解説

方針・初手

与えられた式を $x$ についての2次式とみて、たすき掛けによる因数分解を行う。また、$a$ についての2次式として整理し直して因数分解することも可能である。

解法1

与えられた式を $x$ についての2次式とみて、定数項をくくり直す。

$$ ax^2 - (a^2 + 2a - 1)x - (a + 2) $$

$x^2$ の係数 $a$ を $1$ と $a$ の積に、定数項 $-(a+2)$ を $-(a+2)$ と $1$ の積にそれぞれ分けてたすき掛けを行う。

たすきに掛けて和をとると、以下のようになる。

$$ 1 \times 1 + a \times \{-(a+2)\} = 1 - a^2 - 2a = -(a^2 + 2a - 1) $$

これは $x$ の一次の項の係数と一致する。したがって、次のように因数分解できる。

$$ \{1 \cdot x - (a + 2)\}(a \cdot x + 1) = (x - a - 2)(ax + 1) $$

解法2

与えられた式を展開し、$a$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} & ax^2 - (a^2 + 2a - 1)x - a - 2 \\ &= ax^2 - a^2x - 2ax + x - a - 2 \\ &= -xa^2 + (x^2 - 2x - 1)a + (x - 2) \end{aligned} $$

これを $a$ についての2次式とみて因数分解する。$a^2$ の係数 $-x$ を $-x$ と $1$ の積に、定数項 $x-2$ を $-(x-2)$ と $-1$ の積にそれぞれ分けてたすき掛けを行う。

たすきに掛けて和をとると、以下のようになる。

$$ (-x) \times \{-(x-2)\} + 1 \times (-1) = x^2 - 2x - 1 $$

これは $a$ の一次の項の係数と一致する。したがって、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} & (-xa - 1)\{a - (x - 2)\} \\ &= -(ax + 1)(a - x + 2) \\ &= (ax + 1)(x - a - 2) \end{aligned} $$

解説

複数の文字が含まれる式の因数分解の基本は、「次数の最も低い文字について整理する」ことである。しかし、本問は $x$ についても $a$ についても最大次数が2次であるため、どちらの文字について整理しても解くことができる。

解法1のように、最初から $x$ について整理されている形を活かし、係数が文字式となっている状態でそのままたすき掛けを行うのが計算量も少なく最もスムーズである。定数項が $-(a+2)$ となっていることから、因数の候補を比較的容易に絞ることができる。

答え

$$ (ax + 1)(x - a - 2) $$