解説

方針・初手

与えられた式は $x$ と $y$ のどちらについても2次式である。複数の文字を含む多項式の因数分解では、特定の文字に着目して整理することが基本である。本問ではどちらの文字に着目してもよいが、いずれか一方の文字について降べきの順に整理し、各項の係数から共通因数を見つけ出す方針をとる。

解法1

与式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ x^2y + 2xy^2 - x^2 + 4y^2 - xy - x - 6y + 2 $$

$$ = (y - 1)x^2 + (2y^2 - y - 1)x + (4y^2 - 6y + 2) $$

$x$ の1次の項の係数と定数項をそれぞれ $y$ について因数分解する。

$$ 2y^2 - y - 1 = (2y + 1)(y - 1) $$

$$ 4y^2 - 6y + 2 = 2(2y^2 - 3y + 1) = 2(2y - 1)(y - 1) $$

これらを整理した式に代入する。

$$ = (y - 1)x^2 + (2y + 1)(y - 1)x + 2(2y - 1)(y - 1) $$

すべての項に共通因数 $y - 1$ が含まれているため、これでくくる。

$$ = (y - 1) \{ x^2 + (2y + 1)x + 2(2y - 1) \} $$

中括弧の中の $x$ についての2次式について、かけて $2(2y - 1)$、たして $2y + 1$ となる2つの式は $2$ と $2y - 1$ であるから、次のように因数分解できる。

$$ = (y - 1)(x + 2)(x + 2y - 1) $$

解法2

与式を $y$ について降べきの順に整理する。

$$ x^2y + 2xy^2 - x^2 + 4y^2 - xy - x - 6y + 2 $$

$$ = (2x + 4)y^2 + (x^2 - x - 6)y - (x^2 + x - 2) $$

$y^2$ の項の係数、$y$ の項の係数、定数項をそれぞれ $x$ について因数分解する。

$$ 2x + 4 = 2(x + 2) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

$$ -(x^2 + x - 2) = -(x + 2)(x - 1) $$

これらを整理した式に代入する。

$$ = 2(x + 2)y^2 + (x - 3)(x + 2)y - (x + 2)(x - 1) $$

すべての項に共通因数 $x + 2$ が含まれているため、これでくくる。

$$ = (x + 2) \{ 2y^2 + (x - 3)y - (x - 1) \} $$

中括弧の中の $y$ についての2次式をたすき掛けにより因数分解する。かけて $2$ となる $1$ と $2$、かけて $-(x - 1)$ となる $-1$ と $x - 1$ の組み合わせを考えると、たすき掛けの和が $(1 \times (x - 1)) + (2 \times (-1)) = x - 3$ となり条件を満たす。

$$ = (x + 2)(y - 1)(2y + x - 1) $$

$$ = (x + 2)(y - 1)(x + 2y - 1) $$

解説

複数の文字を含む多項式の因数分解における基本的な定石を問う問題である。基本方針として「最も次数の低い文字について整理する」というものがあるが、本問では $x$ も $y$ も最高次数が2次であるため、どちらの文字に着目しても難易度は変わらない。

どちらの文字で整理した場合でも、整理した後に各係数を因数分解することで、式全体から共通因数がくくり出せる構造になっている。その後、残った2次式をたすき掛けを用いて因数分解すればよい。共通因数を見落とさず、最後まで因数分解しきることが重要である。

答え

$$ (x + 2)(y - 1)(x + 2y - 1) $$