解説

方針・初手

4つの1次式の積がある場合、適当な2つずつを組み合わせて展開したときに、共通の部分式が現れるように工夫する。本問では定数項に着目し、和が等しくなる組み合わせを探す。

解法1

与式において、定数項の和が $1+4=5$ と $2+3=5$ で等しくなることに着目し、$(x+1)$ と $(x+4)$、$(x+2)$ と $(x+3)$ をそれぞれ組み合わせて展開する。

$$ \begin{aligned} (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 &= \{ (x+1)(x+4) \} \cdot \{ (x+2)(x+3) \} - 24 \\ &= (x^2+5x+4)(x^2+5x+6) - 24 \end{aligned} $$

ここで、$A = x^2+5x$ とおくと、式は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} (A+4)(A+6) - 24 &= A^2 + 10A + 24 - 24 \\ &= A^2 + 10A \\ &= A(A+10) \end{aligned} $$

$A$ を元の $x^2+5x$ に戻す。

$$ \begin{aligned} A(A+10) &= (x^2+5x)(x^2+5x+10) \\ &= x(x+5)(x^2+5x+10) \end{aligned} $$

解説

4つの1次式の積を展開する際、共通の式（本問では $x^2+5x$）を作り出して別の文字に置き換えることで、計算を大幅に簡略化できる典型問題である。共通部分の作り方としては、$1$次の項の係数を揃えるために、定数項の「和」が等しくなる組み合わせを探すのが基本の手筋である。

なお、$2$次式の因数 $x^2+5x+10$ は有理数の範囲でこれ以上因数分解できないため、これが最終的な因数となる。また、$x^2+5x$ をさらに $x(x+5)$ と因数分解することを忘れないように注意したい。最後まで分解しきって初めて正解となる。

答え

$$ x(x+5)(x^2+5x+10) $$