解説

方針・初手

式の中に共通する部分 $x^2 + 2x$ が存在することに着目する。これを一つの文字に置き換えることで、複雑な式をシンプルな2次式として扱うことができる。展開して整理した後に因数分解を行い、最後に元の文字に戻してさらに因数分解ができないかを確認する。

解法1

$x^2 + 2x = A$ とおく。

与えられた式は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} (x^2 + 2x - 30)(x^2 + 2x - 8) - 135 &= (A - 30)(A - 8) - 135 \\ &= A^2 - 38A + 240 - 135 \\ &= A^2 - 38A + 105 \end{aligned} $$

これを $A$ について因数分解する。積が $105$、和が $-38$ となる2つの数は $-3$ と $-35$ であるから、

$$ A^2 - 38A + 105 = (A - 3)(A - 35) $$

ここで、$A = x^2 + 2x$ を元の式に戻す。

$$ (A - 3)(A - 35) = (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 35) $$

さらにそれぞれの括弧の中を因数分解する。

$$ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) $$

$$ x^2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7) $$

したがって、与式は次のように因数分解される。

$$ (x - 1)(x + 3)(x - 5)(x + 7) $$

解説

共通部分を見つけて別の文字に置き換える、展開と因数分解の非常に基本的な典型問題である。

置き換えた文字の式で因数分解が完了したと安心してしまいがちだが、元の変数に戻した後にまだ因数分解できる可能性が残っていることに注意が必要である。「因数分解せよ」という指示においては、有理数の係数の範囲でこれ以上分解できない状態まで持っていくことが原則である。

答え

$$ (x - 1)(x + 3)(x - 5)(x + 7) $$