解説

方針・初手

複数の文字が含まれる多項式の因数分解では、「最も次数の低い文字に着目して整理する」ことが定石である。 与えられた式は $a, b, c$ のどの文字についても最大の次数が2次であるため、どの文字について整理してもよい。ここでは $a$ について整理して解き進める。

解法1

与式を $a$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} & a^2b - a^2c + b^2a - c^2a + b^2c - c^2b \\ &= (b - c)a^2 + (b^2 - c^2)a + (b^2c - bc^2) \end{aligned} $$

各項をそれぞれ因数分解し、式の形を整える。

$$ = (b - c)a^2 + (b + c)(b - c)a + bc(b - c) $$

すべての項に共通因数 $(b - c)$ が現れるため、これで式全体をくくる。

$$ = (b - c) \{ a^2 + (b + c)a + bc \} $$

波括弧の中は $a$ についての2次式であり、和が $b+c$、積が $bc$ となる2つの数は $b$ と $c$ であるから、さらに因数分解できる。

$$ = (b - c)(a + b)(a + c) $$

式の見栄えをよくするため、文字の順番を入れ替えて輪環の順（$a \to b \to c \to a$ の順）に整理する。

$$ = (a + b)(b - c)(c + a) $$

解説

複数の文字が混在する式の因数分解における基本原則、「最低次の文字について整理する」を問う典型的な問題である。すべての文字の次数が同じ場合は、どの文字を選んでも難易度は変わらないため、計算ミスを減らしやすい文字を選ぶとよい。

また、最後に得られた結果は $(a + b)(b - c)(c + a)$ のように文字の順序を意識して書くことが数学的な慣習として多いが、$(b - c)(a + b)(a + c)$ のまま答えても正解として扱われる。

答え

$$ (a + b)(b - c)(c + a) $$