解説

方針・初手

与式は $x^4$ と $x^2$ を含む複二次式である。単に $x^2=t$ とおいても $t^2 + 5t + 9$ となり因数分解できないため、平方の差 $A^2 - B^2$ の形を作り出すことを考える。最高次の項 $x^4$ と定数項 $9$ に着目し、$(x^2+3)^2$ を展開した式を利用して式変形を行う。

解法1

与えられた式において、$(x^2+3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9$ であることを利用し、無理やり平方式を作ってから帳尻を合わせる。

$$ \begin{aligned} x^4 + 5x^2 + 9 &= (x^4 + 6x^2 + 9) - x^2 \\ &= (x^2 + 3)^2 - x^2 \end{aligned} $$

ここで、平方の差の因数分解公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を適用する。

$$ \begin{aligned} (x^2 + 3)^2 - x^2 &= \{(x^2 + 3) + x\}\{(x^2 + 3) - x\} \\ &= (x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3) \end{aligned} $$

それぞれの括弧内の2次式について、判別式を考えると $D = (\pm 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -11 < 0$ となり、実数係数の範囲でこれ以上1次式の積に因数分解できない（通常、指定がない限り有理数係数の範囲で因数分解を行う）。よって、ここで因数分解は完了である。

解説

複二次式 $ax^4 + bx^2 + c$ の因数分解における典型的な処理を問う問題である。複二次式の因数分解には大きく分けて以下の2つのパターンがある。

1. $x^2 = X$ とおくことで、$X$ の2次式として因数分解できる場合（例：$x^4 - 3x^2 + 2 = (x^2-1)(x^2-2)$）。 2. 平方式を作り、$A^2 - B^2$ の形に持ち込む場合。

本問は後者のパターンである。このパターンでは、最高次の項と定数項に着目して $(x^2 + k)^2$ または $(x^2 - k)^2$ の形を想定し、展開して生じる $x^2$ の項の係数を調整することで $- (\text{何かの式})^2$ を作り出すのが定石である。

答え

$$ (x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3) $$