基礎問題集
数学1 数と式「因数分解」の問題18 解説
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解説
方針・初手
与えられた式の中に $x+3y$ という共通のまとまりが含まれていることに着目する。この部分を1つの文字に置き換えることで、式の展開と整理を容易にし、因数分解の形に持ち込む。
解法1
$x+3y=A$ とおく。
与えられた式は次のように表される。
$$ (A-1)(A+3)(A+4)+12 $$
これを展開する。
$$ \begin{aligned} (A^2+2A-3)(A+4)+12 &= A^3+4A^2+2A^2+8A-3A-12+12 \\ &= A^3+6A^2+5A \end{aligned} $$
各項に共通因数 $A$ が含まれているため、これでくくり、さらに括弧の中の2次式を因数分解する。
$$ \begin{aligned} A^3+6A^2+5A &= A(A^2+6A+5) \\ &= A(A+1)(A+5) \end{aligned} $$
ここで $A=x+3y$ を代入して、元の文字に戻す。
$$ (x+3y)(x+3y+1)(x+3y+5) $$
解説
複数の項からなる式を展開・因数分解する際、同じ形（共通のまとまり）を見つけて別の文字に置き換えるのは定石である。本問では $x+3y$ を置き換えて展開すると、定数項の $-12$ と $+12$ が打ち消し合い、全体を因数分解できる形になるように構成されている。
答え
$$ (x+3y)(x+3y+1)(x+3y+5) $$