解説

方針・初手

複数の文字を含む多項式の因数分解では、最も次数の低い文字について整理するのが基本である。本問の式は $x$ についても $y$ についても2次式であるため、どちらの文字について整理してもよい。ここでは、$x$ の2次の係数が正であることから、$x$ について降べきの順に整理して因数分解を進める。

解法1

与えられた式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ 2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x + 7y - 4 = 2x^2 + (-5y + 7)x - (3y^2 - 7y + 4) $$

定数項にあたる $y$ の2次式 $-(3y^2 - 7y + 4)$ を因数分解する。

$$ 3y^2 - 7y + 4 = (3y - 4)(y - 1) $$

これを元の式に代入する。

$$ 2x^2 + (-5y + 7)x - (3y - 4)(y - 1) $$

$x$ の2次式とみて、たすき掛けを行う。掛けて $2$、掛けて $-(3y - 4)(y - 1)$ となり、たすき掛けの和が $-5y + 7$ となる組み合わせを探す。

$$ \begin{aligned} 1 \quad \longrightarrow \quad & y - 1 \quad \longrightarrow \quad y - 1 \\ 2 \quad \longrightarrow \quad & -(3y - 4) \quad \longrightarrow \quad -6y + 8 \end{aligned} $$

これらの和は $(y - 1) + (-6y + 8) = -5y + 7$ となり、$x$ の係数と一致する。

したがって、次のように因数分解できる。

$$ \{x + (y - 1)\}\{2x - (3y - 4)\} = (x + y - 1)(2x - 3y + 4) $$

解法2

$y$ について降べきの順に整理して解くこともできる。先頭の符号を正にするため、全体をマイナスでくくってから進めると計算ミスが減る。

$$ \begin{aligned} & 2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x + 7y - 4 \\ &= -3y^2 + (-5x + 7)y + 2x^2 + 7x - 4 \\ &= - \{ 3y^2 + (5x - 7)y - (2x^2 + 7x - 4) \} \end{aligned} $$

中括弧内の定数項にあたる $x$ の2次式 $-(2x^2 + 7x - 4)$ を因数分解する。

$$ 2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4) $$

これを代入し、$y$ についての2次式とみてたすき掛けを行う。掛けて $3$、掛けて $-(2x - 1)(x + 4)$ となり、たすき掛けの和が $5x - 7$ となる組み合わせを探す。

$$ \begin{aligned} 1 \quad \longrightarrow \quad & -(2x - 1) \quad \longrightarrow \quad -2x + 1 \\ 3 \quad \longrightarrow \quad & x + 4 \quad \longrightarrow \quad 3x + 12 \end{aligned} $$

これらの和は $(-2x + 1) + (3x + 12) = x + 13$ となり、$y$ の係数と一致しない。別の組み合わせを試す。

$$ \begin{aligned} 1 \quad \longrightarrow \quad & 2x - 1 \quad \longrightarrow \quad 2x - 1 \\ 3 \quad \longrightarrow \quad & -(x + 4) \quad \longrightarrow \quad -3x - 12 \end{aligned} $$

これらの和は $(2x - 1) + (-3x - 12) = -x - 13$ となり、これも不適である。さらに別の組み合わせを試す。

$$ \begin{aligned} 1 \quad \longrightarrow \quad & x + 4 \quad \longrightarrow \quad x + 4 \\ 3 \quad \longrightarrow \quad & -(2x - 1) \quad \longrightarrow \quad -6x + 3 \end{aligned} $$

これらの和は $(x + 4) + (-6x + 3) = -5x + 7$ となり、目標の $5x - 7$ と符号が逆である。したがって、符号を入れ替えた組み合わせが正解となる。

$$ \begin{aligned} 1 \quad \longrightarrow \quad & -(x + 4) \quad \longrightarrow \quad -x - 4 \\ 3 \quad \longrightarrow \quad & 2x - 1 \quad \longrightarrow \quad 6x - 3 \end{aligned} $$

これらの和は $(-x - 4) + (6x - 3) = 5x - 7$ となり、$y$ の係数と一致する。

よって、中括弧の中は次のように因数分解できる。

$$

$$

• [ \{y - (x + 4)\}\{3y + (2x - 1)\} ] = - (y - x - 4)(3y + 2x - 1)

先頭のマイナスを一方の括弧の中に入れ込むことで、見やすい形に直す。

$$ (x - y + 4)(2x + 3y - 1) $$

解説

2つの変数が含まれる2次式の因数分解の典型問題である。基本方針として「次数の低い文字について整理する」という定石があるが、本問は $x, y$ ともに2次であるため、どちらで整理しても計算量は大きく変わらない。ただし、$x^2$ の係数が正、$y^2$ の係数が負であるため、解法1のように $x$ について整理した方が、括弧の処理や符号のミスが起こりにくく安全である。

2段階のたすき掛け（1回目は特定の文字の2次式の因数分解、2回目は式全体を別の文字についての2次式とみなした因数分解）を正確に実行する計算力が問われている。

答え

$$ (x + y - 1)(2x - 3y + 4) $$