解説

方針・初手

4つの1次式の積を含む式の展開・因数分解では、適当な2つの式の組み合わせを作り、展開した際に共通のまとまりを作り出すのが基本である。各1次式の定数項に注目し、和が等しくなるような2つのペアを見つけることから始める。

解法1

与えられた式において、定数項の和が $1+4=5$、$2+3=5$ と等しくなることに着目し、$(x+1)$ と $(x+4)$、$(x+2)$ と $(x+3)$ をそれぞれ組み合わせる。

$$ \begin{aligned} & (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 \\ &= \{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}-3 \\ &= (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3 \end{aligned} $$

ここで、共通部分である $x^2+5x$ を $A$ とおくと、式は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} & (A+4)(A+6)-3 \\ &= A^2+10A+24-3 \\ &= A^2+10A+21 \\ &= (A+3)(A+7) \end{aligned} $$

$A$ を元の $x^2+5x$ に戻す。

$$ (x^2+5x+3)(x^2+5x+7) $$

2次式 $x^2+5x+3$ および $x^2+5x+7$ について、判別式を調べるなどの方法により、これ以上有理数の範囲で因数分解できないことが分かる。したがって、これが因数分解の最終結果である。

解説

4つの1次式の積 $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$ を含む式の展開や因数分解において、$a+b=c+d$ となるようなペアを見つけて展開することで、共通部分 $x^2+(a+b)x$ を作り出し、文字の置き換えを利用して計算を簡略化・見やすくする手法は、高校数学における典型的な定石である。本問はこの解法パターンを直接問う基本的な問題となっている。

答え

$$ (x^2+5x+3)(x^2+5x+7) $$