解説

方針・初手

複数の文字（本問では $x$ と $y$）が含まれる多項式の因数分解では、「最も次数の低い文字について整理する」ことが基本である。しかし、本問では $x$ も $y$ も最高次数は $2$ で同じであるため、どちらの文字に着目して整理してもよい。ここでは $x$ について降べきの順に整理し、定数項部分を因数分解した後に、全体で「たすき掛け」を行う。

解法1

与えられた式を $x$ について整理する。

$$ 2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2) $$

定数項にあたる $y$ の2次式をたすき掛けにより因数分解する。

$$ 3y^2 - 5y - 2 = (y - 2)(3y + 1) $$

これを元の式に代入する。

$$ 2x^2 + (5y - 3)x + (y - 2)(3y + 1) $$

全体に対して再びたすき掛けを行う。かけて $2$ になる数の組と、かけて $(y - 2)(3y + 1)$ になる式の組を考え、たすきに掛けて足した結果が $x$ の係数 $5y - 3$ になる組み合わせを探す。

$$ \begin{aligned} 1 &\longrightarrow y - 2 \\ 2 &\longrightarrow 3y + 1 \end{aligned} $$

それぞれの積を計算する。

$$ \begin{aligned} 1 \times (3y + 1) &= 3y + 1 \\ 2 \times (y - 2) &= 2y - 4 \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、以下のようになり $x$ の係数と一致する。

$$ (3y + 1) + (2y - 4) = 5y - 3 $$

したがって、与式は次のように因数分解できる。

$$ \{x + (y - 2)\}\{2x + (3y + 1)\} = (x + y - 2)(2x + 3y + 1) $$

解法2

$y$ について整理して解くこともできる。

$$ 3y^2 + (5x - 5)y + (2x^2 - 3x - 2) $$

定数項の $x$ の2次式を因数分解する。

$$ 2x^2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) $$

これを元の式に代入する。

$$ 3y^2 + 5(x - 1)y + (x - 2)(2x + 1) $$

全体に対してたすき掛けを行う。

$$ \begin{aligned} 1 &\longrightarrow x - 2 \\ 3 &\longrightarrow 2x + 1 \end{aligned} $$

それぞれの積を計算する。

$$ \begin{aligned} 1 \times (2x + 1) &= 2x + 1 \\ 3 \times (x - 2) &= 3x - 6 \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、以下のようになり $y$ の係数と一致する。

$$ (2x + 1) + (3x - 6) = 5x - 5 = 5(x - 1) $$

したがって、与式は次のように因数分解できる。

$$ \{y + (x - 2)\}\{3y + (2x + 1)\} = (x + y - 2)(2x + 3y + 1) $$

解説

複数の文字を含む2次式の因数分解における典型問題である。 文字の次数がすべて同じ場合は、どれか1つの文字に着目して降べきの順に整理する。本問のように $x^2$ の係数が $2$、$y^2$ の係数が $3$ の場合、どちらの文字で整理しても計算量に大きな差はないが、一般に最高次の係数の絶対値が小さい文字に着目したほうが、最後のたすき掛けの組み合わせの候補が少なくなるため、試行錯誤の時間を減らし計算ミスを防ぎやすくなる。 定数項部分の因数分解と、全体での因数分解で計2回のたすき掛けを正確に行う計算力が問われている。

答え

$$ (x + y - 2)(2x + 3y + 1) $$