解説

方針・初手

多項式の展開問題である。そのまま展開してもよいが、式の一部に共通のまとまりを見つけて $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の形に持ち込むか、それぞれの2次式を一度因数分解して組み合わせを変えることで計算を工夫できる。

解法1

与式の各括弧の中に共通する部分 $x^2+2$ に着目し、項の順序を入れ替える。

$$ (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 3x + 2) = \{ (x^2 + 2) + 3x \} \{ (x^2 + 2) - 3x \} $$

ここで公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \{ (x^2 + 2) + 3x \} \{ (x^2 + 2) - 3x \} &= (x^2 + 2)^2 - (3x)^2 \\ &= x^4 + 4x^2 + 4 - 9x^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 4 \end{aligned} $$

解法2

与式の2つの2次式がそれぞれ容易に因数分解できることに着目する。

$$ \begin{aligned} x^2 + 3x + 2 &= (x + 1)(x + 2) \\ x^2 - 3x + 2 &= (x - 1)(x - 2) \end{aligned} $$

したがって、与式は次のように変形できる。

$$ (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 3x + 2) = (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 2) $$

乗法の順序を入れ替え、和と差の積が作れるように組み合わせる。

$$ \begin{aligned} (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 2) &= \{ (x + 1)(x - 1) \} \{ (x + 2)(x - 2) \} \\ &= (x^2 - 1)(x^2 - 4) \end{aligned} $$

これを展開する。

$$ \begin{aligned} (x^2 - 1)(x^2 - 4) &= x^4 - 4x^2 - x^2 + 4 \\ &= x^4 - 5x^2 + 4 \end{aligned} $$

解説

多項式の展開において、闇雲に計算するのではなく、式の構造を観察して工夫する力を問う基本問題である。解法1のように共通部分をまとめて1つの文字とみなす手法は、展開のみならず因数分解でも頻出のテクニックである。解法2のように、一度因数分解して積の順序を入れ替える手法も、複2次式の計算などで有効な場合がある。どちらの手法も自然に引き出せるようにしておきたい。

答え

$$ x^4 - 5x^2 + 4 $$