解説

方針・初手

式をそのまま展開しても答えを導くことはできるが、式の特徴を捉えて工夫することで、計算量を減らし符号のミスを防ぐことができる。 ここでは以下の2つの方針が考えられる。

1. 式全体を2つのグループに分け、$X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$ の因数分解公式を利用して計算する。 2. $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ の展開公式を適用し、各項を整理する。

解法1

与えられた式を、第1項と第2項、第3項と第4項の2つの組に分ける。それぞれに平方の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を適用する。

$$ \begin{aligned} & (a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2 \\ &= \{ (a+b+c)^2 - (-a+b+c)^2 \} + \{ (a-b+c)^2 - (a+b-c)^2 \} \\ &= \{ (a+b+c) + (-a+b+c) \} \{ (a+b+c) - (-a+b+c) \} \\ &\quad + \{ (a-b+c) + (a+b-c) \} \{ (a-b+c) - (a+b-c) \} \\ &= (2b+2c)(2a) + (2a)(-2b+2c) \\ &= 4a(b+c) + 4a(-b+c) \end{aligned} $$

共通因数 $4a$ でくくって整理する。

$$ \begin{aligned} 4a(b+c) + 4a(-b+c) &= 4a \{ (b+c) + (-b+c) \} \\ &= 4a(2c) \\ &= 8ac \end{aligned} $$

解法2

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ の公式を用いて、各項を展開する。

$$ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $$

$$ (b+c-a)^2 = (-a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca $$

$$ (c+a-b)^2 = (a-b+c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca $$

$$ (a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca $$

これらを元の式に代入し、同類項をまとめる。各かっこの先頭にある $a^2+b^2+c^2$ は足し引きによってすべて打ち消し合うことに注意する。

$$ \begin{aligned} & (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) \\ & - (a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca) \\ & + (a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca) \\ & - (a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca) \\ &= (2ab+2bc+2ca) - (-2ab+2bc-2ca) + (-2ab-2bc+2ca) - (2ab-2bc-2ca) \\ &= 2ab+2bc+2ca + 2ab-2bc+2ca - 2ab-2bc+2ca - 2ab+2bc+2ca \\ &= (2ab+2ab-2ab-2ab) + (2bc-2bc-2bc+2bc) + (2ca+2ca+2ca+2ca) \\ &= 0 + 0 + 8ca \\ &= 8ac \end{aligned} $$

解説

基本的な式の展開問題である。解法2のように素直に展開してもよいが、項数が多くなるため符号のミスを起こしやすい。

解法1のように $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形を見出して因数分解の公式を利用すると、計算途中で項が大幅に減り、見通しよく安全に計算を進めることができる。複数の項からなる式の計算では、部分的に公式を適用できないか観察する癖をつけておきたい。

答え

$$ 8ac $$