解説

方針・初手

和や平方和、立方和の条件から、$p$ の倍数となる単項式（積の形）を作り出すことが目標となる。 問題文の「$mn$ が $p$ の倍数ならば、$m$ または $n$ は $p$ の倍数」という素数特有の性質を活用するため、因数が少なくなるように式を組み合わせる。 対称式であることに着目し、対称性を利用して場合分けや議論を省略する。

解法1

**(1)**

与えられた条件より、$ab$ は $p$ の倍数である。

問題文で与えられた性質により、$a$ または $b$ は $p$ の倍数である。

$a$ と $b$ についての対称性から、$a$ が $p$ の倍数であるとしても一般性を失わない。

このとき、$b$ は次のように表せる。

$$ b = (a+b) - a $$

仮定より $a+b$ は $p$ の倍数であり、$a$ も $p$ の倍数であるため、それらの差である $b$ も $p$ の倍数となる。

以上より、$a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることが示された。

**(2)**

恒等式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用いて、$2ab$ を次のように表す。

$$ 2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2) $$

仮定より $a+b$ と $a^2+b^2$ はともに $p$ の倍数であるから、$(a+b)^2$ も $p$ の倍数となり、上式の右辺は $p$ の倍数となる。

したがって、$2ab$ は $p$ の倍数である。

ここで、$p$ は $3$ 以上の素数であるから、$2$ と $p$ は互いに素である。

ゆえに、$ab$ は $p$ の倍数となる。

これと、$a+b$ が $p$ の倍数であることから、(1) の結果を適用でき、$a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることが示された。

**(3)**

与えられた $a^2+b^2$ と $a^3+b^3$ を組み合わせて、単項式である $ab^2$ を作り出すために次のような式変形を行う。

$$ ab^2 = a(a^2+b^2) - (a^3+b^3) $$

仮定より $a^2+b^2$ と $a^3+b^3$ はともに $p$ の倍数であるから、上式の右辺は $p$ の倍数となる。

したがって、$ab^2$ は $p$ の倍数である。

問題文の性質から、$a$ または $b^2$ は $p$ の倍数である。さらに $b^2$ が $p$ の倍数ならば $b$ は $p$ の倍数となるため、結果的に $a$ または $b$ は $p$ の倍数となる。

$a$ と $b$ についての対称性から、$a$ が $p$ の倍数であるとしても一般性を失わない。

このとき、$a^2$ は $p$ の倍数となる。

$b^2$ は次のように表せる。

$$ b^2 = (a^2+b^2) - a^2 $$

仮定より $a^2+b^2$ は $p$ の倍数であり、$a^2$ も $p$ の倍数であるから、それらの差である $b^2$ は $p$ の倍数となる。

ゆえに、$b$ も $p$ の倍数である。

以上より、$a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることが示された。

解説

素数の性質を最大限に活用し、式の和と差から $ab$ や $ab^2$ といった積だけの項を抽出する発想が重要である。 (2)では、$p$ が $3$ 以上の素数であるという条件が「$2$ と互いに素である」という形で効いてくるため、この論理を飛ばさずに記述する必要がある。 (3)では、合同式を用いたり $(a+b)(a^2+b^2)$ などを展開して因数分解する別のアプローチも考えられるが、本解のように $ab^2$ を直接作り出す式変形を見つけると、非常に簡潔かつ見通しよく証明できる。

答え

(1) 題意の通り証明された。

(2) 題意の通り証明された。

(3) 題意の通り証明された。