解説

方針・初手

与えられた性質 (*) は、ベクトルの和に対する加法性を示している。 証明すべき等式 $f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) = \frac{1}{3}f(\vec{x})$ は、分母を払うと $3f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) = f(\vec{x})$ となる。 これは、$f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) + f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) + f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) = f(\vec{x})$ と見ることができる。 したがって、ベクトル $\vec{x}$ を $\frac{1}{3}\vec{x}$ の3つの和、すなわち $\vec{x} = \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x}$ として表し、性質 (*) を繰り返し適用すればよい。

解法1

任意の平面ベクトル $\vec{x}$ は、次のように表すことができる。

$$ \vec{x} = \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x} $$

この両辺に対して写像 $f$ を適用すると、次のようになる。

$$ f(\vec{x}) = f\left(\frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x}\right) $$

性質 (*) より、任意の平面ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に対して $f(\vec{a}+\vec{b}) = f(\vec{a}) + f(\vec{b})$ が成り立つ。 ここで、$\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{x}$, $\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x}$ として (*) を適用する。

$$ \begin{aligned} f(\vec{x}) &= f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) + f\left(\frac{1}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{x}\right) \end{aligned} $$

さらに右辺の第2項に対して、$\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{x}$, $\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{x}$ として再び (*) を適用する。

$$ \begin{aligned} f(\vec{x}) &= f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) + f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) + f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) \\ &= 3f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) \end{aligned} $$

したがって、次の等式が得られる。

$$ f(\vec{x}) = 3f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) $$

この両辺を $3$ で割ることにより、求める等式が得られる。

$$ f\left(\frac{1}{3}\vec{x}\right) = \frac{1}{3}f(\vec{x}) $$

よって、任意の平面ベクトル $\vec{x}$ に対して題意は示された。

解説

コーシーの関数方程式 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ に関連する、線形性の証明の一部を取り出したような問題である。 写像が加法的であるとき、$n$ を自然数として $f(n\vec{x}) = nf(\vec{x})$ が成り立つこと、そして有理数 $q$ について $f(q\vec{x}) = qf(\vec{x})$ が成り立つことは典型的な性質である。 本問では $q = 1/3$ の場合をピンポイントで聞いており、$\vec{x}$ を $\frac{1}{3}\vec{x}$ を用いて表現することで容易に解決できる。 論証の際に、与えられた性質 (*) をどのように適用したかを明記すると、丁寧で論理の飛躍がない答案となる。

答え

証明完了（解法1を参照）