解説

方針・初手

与えられた関数方程式 $f(x+y)=f(x)f(y)$ に具体的な値を代入し、$f(3)$ を $f(1)$ の式で表すことを目指す。

解法1

条件(1) $f(x+y)=f(x)f(y)$ において、$x=1, y=1$ とすると、

$$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = \{f(1)\}^2$$

が成り立つ。

さらに、条件(1) において、$x=2, y=1$ とすると、

$$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1)$$

が成り立つ。ここに先ほど求めた $f(2) = \{f(1)\}^2$ を代入すると、

$$f(3) = \{f(1)\}^2 \cdot f(1) = \{f(1)\}^3$$

となる。

ここで、条件(2) より $f(3)=8$ であるから、

$$\{f(1)\}^3 = 8$$

$$\{f(1)\}^3 - 8 = 0$$

$$(f(1)-2)(\{f(1)\}^2 + 2f(1) + 4) = 0$$

と因数分解できる。

問題の条件より、$f(x)$ は実数であるから、$f(1)$ も実数である。 ここで、第2因数について平方完成を行うと、

$$\{f(1)\}^2 + 2f(1) + 4 = \{f(1)+1\}^2 + 3$$

となり、$f(1)$ が実数であることより $\{f(1)+1\}^2 \geqq 0$ であるため、

$$\{f(1)\}^2 + 2f(1) + 4 > 0$$

が成り立つ。

したがって、$(f(1)-2)(\{f(1)\}^2 + 2f(1) + 4) = 0$ を満たす実数 $f(1)$ は

$$f(1) = 2$$

のみである。以上により、$f(1)=2$ であることが証明された。

解法2

関数 $f(x)$ が常に正の値をとることを示してから、$f(1)$ の値を求める。

任意の実数 $x$ に対して、条件(1) より、

$$f(x) = f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right)f\left(\frac{x}{2}\right) = \left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2 \geqq 0$$

となり、$f(x)$ は $0$ 以上の値をとる。

ここで、ある実数 $c$ に対して $f(c) = 0$ と仮定する。 このとき、任意の実数 $x$ は $x = (x-c) + c$ と表せるため、条件(1) より、

$$f(x) = f(x-c+c) = f(x-c)f(c) = f(x-c) \cdot 0 = 0$$

となり、すべての実数 $x$ に対して $f(x)=0$ となる。 しかし、これは条件(2) の $f(3)=8$ に矛盾する。

したがって、$f(x)=0$ となる $x$ は存在せず、任意の実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ である。 特に、$f(1) > 0$ である。

次に、条件(1) を用いて $f(3)$ を $f(1)$ で表す。

$$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = \{f(1)\}^2$$

$$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = \{f(1)\}^3$$

条件(2) より $f(3)=8$ であるから、

$$\{f(1)\}^3 = 8$$

$f(1) > 0$ であり、$y = x^3$ は単調増加関数であるため、これを満たす実数は

$$f(1) = 2$$

となり、示された。

解説

関数方程式 $f(x+y)=f(x)f(y)$ は、指数関数 $f(x) = a^x$ が満たす代表的な関係式である。本問のように特定の関数値が与えられた場合は、代入によって目標とする値との関係を導くのが定石である。 本問では $x=1, y=1$ の代入から順に $f(2), f(3)$ を $f(1)$ で表すだけで結論を得ることができる。

解法1では、$f(1)$ が実数であることから、3次方程式 $\{f(1)\}^3 = 8$ の実数解を直接求めている。解法2のように、関数方程式の性質から $f(x)>0$ を導く手法も頻出なので、合わせて理解しておくとよい。

答え

題意の通り、$f(1)=2$ であることが示された。