解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ の単調性と値域を調べ、数列 $A_k = [f(k)]$ の振る舞いを把握する。$A_k$ は単調に増加するため、相異なる値の個数を求めるには、隣り合う項の差（階差）に注目するとよい。階差の取り得る値で場合分けし、それぞれの回数についての連立方程式を立てることで、重複する値や飛ばされる値の個数を論理的に導き出すことができる。

解法1

$x \geqq 0$ における関数 $f(x)$ の導関数を計算する。

$$ f'(x) = \frac{2x(54n - x) + x^2(-1)}{864n^2} = \frac{108nx - 3x^2}{864n^2} = \frac{3x(36n - x)}{864n^2} = \frac{x(36n - x)}{288n^2} $$

$0 \leqq x \leqq 36n$ において $f'(x) \geqq 0$ であるから、$f(x)$ はこの区間で単調増加する。 また、区間の両端での値は以下のようになる。

$$ f(0) = 0 $$

$$ f(36n) = \frac{(36n)^2(54n - 36n)}{864n^2} = \frac{1296n^2 \cdot 18n}{864n^2} = 27n $$

数列 $A_k = [f(k)]$ （$k = 0, 1, \dots, 36n$）を定義すると、$f(x)$ が単調増加であることから、$A_k$ も単調に増加し（減少することはなく）、$A_0 = 0$ から $A_{36n} = 27n$ まで変化する。 $A_k$ の相異なるものの個数を求めるために、隣接項の差 $d_k = A_{k+1} - A_k$ を評価する。

平均値の定理より、あるいは定積分を用いて $f(k+1) - f(k)$ の大きさを調べる。

$$ f(k+1) - f(k) = \int_k^{k+1} f'(x) dx $$

$f'(x)$ は $x = 18n$ を頂点とする上に凸の放物線であり、その最大値は

$$ f'(18n) = \frac{18n \cdot 18n}{288n^2} = \frac{324}{288} = \frac{9}{8} $$

である。常に $f'(x) \leqq \frac{9}{8} < 2$ であるから、任意の $k$ に対して

$$ 0 \leqq f(k+1) - f(k) < 2 $$

が成り立つ。したがって、$f(x)$ は $1$ 区間で $2$ 以上増加することはなく、ガウス記号の差 $d_k = [f(k+1)] - [f(k)]$ が取り得る値は $0, 1, 2$ のいずれかである。

$k = 0, 1, \dots, 36n-1$ の $36n$ 個の区間において、$d_k$ が $0, 1, 2$ となる回数をそれぞれ $S, T, J$ とおく。 区間の総数と、全体の増分の合計から、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} S + T + J = 36n \\ 0 \cdot S + 1 \cdot T + 2 \cdot J = A_{36n} - A_0 = 27n \end{cases} $$

$A_k$ の相異なる値の個数は、「最初の項の $1$ 個」に「値が増加した回数」を加えたものに等しい。値が増加するのは $d_k = 1$ または $2$ のときなので、求める個数は $1 + T + J$ である。 上の連立方程式の第2式より $T = 27n - 2J$ であり、これを代入すると求める個数は

$$ 1 + (27n - 2J) + J = 27n + 1 - J $$

と表せる。したがって、$J$ の値（$d_k = 2$ となる回数）を求めればよい。

$d_k = 2$ となるためには、$f(k+1) - f(k) > 1$ となる必要がある（区間内の増分が $1$ 以下であれば、整数を2つまたぐことはできないため）。 $f'(x)$ と $1$ の大小関係を調べる。

$$ f'(x) - 1 = \frac{x(36n - x) - 288n^2}{288n^2} = \frac{-x^2 + 36nx - 288n^2}{288n^2} = \frac{-(x - 12n)(x - 24n)}{288n^2} $$

これより、$12n < x < 24n$ の範囲では $f'(x) > 1$ となり、それ以外の範囲では $f'(x) \leqq 1$ となる。 定積分 $\int_k^{k+1} f'(x) dx$ を考えると、積分区間が完全に $f'(x) \leqq 1$ の領域に含まれる場合（すなわち $k \leqq 12n-1$ または $k \geqq 24n$）、その値は $1$ 未満となる。 一方、$12n \leqq k \leqq 24n-1$ を満たす $k$ に対しては、積分区間 $[k, k+1]$ は $f'(x) > 1$ となる領域を内部に含むため、常に $f(k+1) - f(k) > 1$ が成り立つ。

以上の議論から、$f(k+1) - f(k) > 1$ となるのは $12n \leqq k \leqq 24n-1$ の区間のみである。 この区間では常に増分が $1$ より大きいため、$d_k = 0$ になることはなく、$d_k$ は必ず $1$ または $2$ の値をとる。 この範囲での $k$ の個数は $24n - 12n = 12n$ 個である。また、この区間での $d_k$ の総和は

$$ \sum_{k=12n}^{24n-1} d_k = A_{24n} - A_{12n} = [f(24n)] - [f(12n)] $$

となる。ここで、$f(12n)$ と $f(24n)$ の値を計算すると、

$$ f(12n) = \frac{(12n)^2(54n - 12n)}{864n^2} = \frac{144n^2 \cdot 42n}{864n^2} = 7n $$

$$ f(24n) = \frac{(24n)^2(54n - 24n)}{864n^2} = \frac{576n^2 \cdot 30n}{864n^2} = 20n $$

となり、ともに整数である。よって、

$$ \sum_{k=12n}^{24n-1} d_k = 20n - 7n = 13n $$

$12n$ 個の項（各項は $1$ または $2$）の和が $13n$ であるから、この区間で $d_k = 2$ となる回数 $J'$ は、

$$ 1 \cdot (12n - J') + 2 \cdot J' = 13n \implies 12n + J' = 13n \implies J' = n $$

となり、$n$ 回であることがわかる。 他の区間（$k < 12n$ および $k \geqq 24n$）では $f(k+1) - f(k) < 1$ であり $d_k = 2$ になることはないため、全区間を通しての $d_k = 2$ の回数 $J$ は

$$ J = n $$

である。 以上より、相異なる値の個数は

$$ 27n + 1 - J = 27n + 1 - n = 26n + 1 $$

となる。

解説

ガウス記号で定義された数列が、どの値をとり、どの値をとばすか（値域内の整数で漏れるものがあるか）を考察する問題である。各項の具体的な値をすべて求めることは不可能であるため、隣り合う項の差分（階差）に注目するアプローチが極めて有効である。

本問の核心は、$f'(x)$ の最大値が $2$ 未満であることから「$1$ 回のステップで上がる値は最大でも $2$ である」ことを見抜き、階差の総数と総和の連立方程式に帰着させる点にある。さらに、$f'(x) > 1$ となる区間の両端である $x=12n, 24n$ において、関数値がきれいな整数になるように設計されており、ここから「$2$ ずつ上がる回数」が正確に求まるという非常に美しい構造を持っている。

答え

$26n + 1$