解説

方針・初手

与えられた関数方程式 $f(xy)=f(x)+f(y)$ の性質を利用して、式の変形を行う。 **(1)**では、与えられた $f(3)=2$ から、$f(x)=4$ となるような $x$ の値を関数方程式を用いて構成する。 **(2)**では、まず関数 $f(x)$ の定義域の条件を確認する。その後、関数方程式を用いて不等式の左辺を1つの $f(\dots)$ にまとめ、関数が増加関数であることを利用して変数部分の不等式へと帰着させる。

解法1

**(1)**

与えられた条件 $f(xy)=f(x)+f(y)$ において、$x=3, y=3$ とすると、

$$ f(3 \cdot 3) = f(3) + f(3) $$

$$ f(9) = 2 + 2 = 4 $$

が得られる。

また、関数 $f(x)$ は増加関数であるため、$f(x)=4$ を満たす $x$ はただ1つ存在する。 したがって、求める $x$ の値は、

$$ x = 9 $$

である。

**(2)**

関数 $f(x)$ は $x>0$ で定義されているため、不等式 $f(x+1)+f(x-3) \leqq 4$ における各項の変数は正でなければならない。 すなわち、

$$ x+1 > 0 \quad \text{かつ} \quad x-3 > 0 $$

これを満たす $x$ の範囲は、

$$ x > 3 $$

である。

次に、与えられた不等式を変形する。 条件 $f(xy)=f(x)+f(y)$ を用いると、不等式の左辺は次のようにまとめられる。

$$ f(x+1) + f(x-3) = f((x+1)(x-3)) $$

また、**(1)**の結果から $4 = f(9)$ であるため、元の不等式は次のように書き換えられる。

$$ f((x+1)(x-3)) \leqq f(9) $$

関数 $f(x)$ は増加関数であるから、関数値の大小関係は変数の大小関係と一致する。 したがって、

$$ (x+1)(x-3) \leqq 9 $$

が成り立つ。 この2次不等式を展開して整理する。

$$ x^2 - 2x - 3 \leqq 9 $$

$$ x^2 - 2x - 12 \leqq 0 $$

方程式 $x^2 - 2x - 12 = 0$ の解は解の公式より $x = 1 \pm \sqrt{13}$ であるから、不等式の解は

$$ 1 - \sqrt{13} \leqq x \leqq 1 + \sqrt{13} $$

となる。

ここで、定義域の条件 $x > 3$ との共通範囲を求める。 $3 < \sqrt{13} < 4$ より、$4 < 1 + \sqrt{13} < 5$ であることに注意すると、求める共通範囲は

$$ 3 < x \leqq 1 + \sqrt{13} $$

となる。

解説

本問は、対数関数の性質を抽象化したような関数方程式に関する問題である。 関数方程式 $f(xy)=f(x)+f(y)$ は、$f(x) = \log_a x$ の形をした関数が満たす性質として有名であり、実際にこの関数を想定しながら解き進めることで見通しが良くなる。

解答を構築する上で特に重要なポイントは以下の2点である。

• 関数の定義域への配慮：対数不等式を解く際に「真数条件」を確認するのと全く同様に、**(2)**では $f(x)$ の引数が正であるという条件を最初に確認し、最終的な解との共通範囲をとる必要がある。
• 増加関数の性質の利用：$f(X) \leqq f(Y) \iff X \leqq Y$ という同値変形が、関数が増加関数であるという条件によって論理的に保証されている。

答え

(1) $x = 9$

(2) $3 < x \leqq 1 + \sqrt{13}$