解説

方針・初手

絶対値記号を含む方程式 $|x^2 - 2x| = x$ を解き、$x \neq 0$ となる解を求める。絶対値記号の中身である $x^2 - 2x$ の正負で場合分けをして絶対値を外すのが基本方針である。

解法1

曲線 $y = |x^2 - 2x|$ と直線 $y = x$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $|x^2 - 2x| = x$ の実数解である。 絶対値記号内の式 $x^2 - 2x = x(x-2)$ の符号によって場合分けを行う。

**(i)** $x \le 0, \ 2 \le x$ のとき

$x^2 - 2x \ge 0$ であるから、方程式は次のように絶対値記号を外すことができる。

$$ x^2 - 2x = x $$

整理すると、

$$ x^2 - 3x = 0 $$

$$ x(x - 3) = 0 $$

これを解くと $x = 0, \ 3$ となり、これらはともに条件 $x \le 0, \ 2 \le x$ を満たす。 求めるのは原点以外の交点であるため、$x = 0$ は除外され、$x = 3$ を得る。

**(ii)** $0 < x < 2$ のとき

$x^2 - 2x < 0$ であるから、方程式は次のように絶対値記号を外すことができる。

$$ -(x^2 - 2x) = x $$

整理すると、

$$ x^2 - x = 0 $$

$$ x(x - 1) = 0 $$

これを解くと $x = 0, \ 1$ となるが、条件 $0 < x < 2$ を満たすのは $x = 1$ のみである。

**(i)**, **(ii)** より、原点以外の交点の $x$ 座標は $1$ と $3$ である。

解法2

方程式 $|x^2 - 2x| = x$ において、左辺は絶対値であるため常に $0$ 以上である。 したがって、等式が成り立つためには右辺も $0$ 以上、すなわち $x \ge 0$ でなければならない。

いま、原点以外の交点を求めるので、$x \neq 0$ より $x > 0$ を前提として解く。 このとき、方程式は以下のように同値変形できる。

$$ x^2 - 2x = \pm x $$

すなわち、

$$ x^2 - 2x = x \quad \text{または} \quad x^2 - 2x = -x $$

それぞれの2次方程式を解く。

$$ x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \iff x = 0, \ 3 $$

$$ x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0 \iff x = 0, \ 1 $$

前提条件 $x > 0$ を満たす解は $x = 1, \ 3$ である。

解説

絶対値を含む方程式の実数解を求める基本的な問題である。 解法1のように絶対値記号の中身の正負で場合分けを行うのが原則であるが、解法2のように $|A| = B \iff (A = B \text{ または } A = -B) \text{ かつ } B \ge 0$ という同値変形を用いると、場合分けの手間を減らし計算を簡略化できる。 また、解法を問わず $y = |x^2 - 2x|$ のグラフの概形をかき、直線 $y=x$ との交点を目視で確認することで、解の個数やおおよその値の見当をつけることができ、計算ミスの防止に役立つ。

答え

$1, \ 3$