解説

方針・初手

数列のように帰納的に定義された関数の問題である。まずは与えられた条件 (ア), (イ), (ウ) を繰り返し用いて、$f_2(x), f_3(x), \dots$ を具体的に求め、一般の $f_n(x)$ の式を推測する。推測した式が正しいことを数学的帰納法で証明し、その結果を用いて各小問に答える。 小問(2)の和の計算では三角関数の周期性に、小問(3)は整数問題の典型的な解法に帰着させる。

解法1

簡略化のため、$c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ とおく。 条件 (イ), (ウ) より、

$$ f_{2n}(x) = f_{2n-1}(c - x) $$

$$ f_{2n+1}(x) = f_{2n}(-x) $$

これらを用いて $f_n(x)$ を具体的に計算していく。条件 (ア) より $f_1(x) = \sin(\pi x)$ であるから、

$$ f_2(x) = f_1(c - x) = \sin(\pi(c - x)) $$

$$ f_3(x) = f_2(-x) = \sin(\pi(c - (-x))) = \sin(\pi(x + c)) $$

$$ f_4(x) = f_3(c - x) = \sin(\pi(c - x + c)) = \sin(\pi(2c - x)) $$

$$ f_5(x) = f_4(-x) = \sin(\pi(2c - (-x))) = \sin(\pi(x + 2c)) $$

この結果から、自然数 $n$ に対して次のように推測される。

$$ f_{2n-1}(x) = \sin(\pi(x + (n-1)c)) \quad \cdots (A) $$

$$ f_{2n}(x) = \sin(\pi(nc - x)) \quad \cdots (B) $$

これらがすべての自然数 $n$ で成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する。

**(I)** $n=1$ のとき (A)の右辺は $\sin(\pi x) = f_1(x)$ であり成立する。 (B)の右辺は $\sin(\pi(c - x)) = f_2(x)$ であり成立する。

**(II)** $n=k$ のとき、(A), (B)が成立すると仮定する。すなわち、

$$ f_{2k-1}(x) = \sin(\pi(x + (k-1)c)) $$

$$ f_{2k}(x) = \sin(\pi(kc - x)) $$

$n=k+1$ のとき、条件 (ウ) より

$$ f_{2(k+1)-1}(x) = f_{2k+1}(x) = f_{2k}(-x) = \sin(\pi(kc - (-x))) = \sin(\pi(x + kc)) $$

これは (A) に $n=k+1$ を代入した式と一致する。 さらに、条件 (イ) より

$$ f_{2(k+1)}(x) = f_{2k+2}(x) = f_{2k+1}(c - x) = \sin(\pi((c - x) + kc)) = \sin(\pi((k+1)c - x)) $$

これは (B) に $n=k+1$ を代入した式と一致する。 よって、$n=k+1$ のときも (A), (B) は成立する。

**(I), (II)** より、すべての自然数 $n$ について (A), (B) が成り立つ。

(1) $a=2, b=3$ のとき、$c = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ である。 $f_5(0)$ は (A) において $n=3, x=0$ としたものであるから、

$$ f_5(0) = \sin(\pi(0 + 2c)) = \sin(2\pi c) = \sin\left(2\pi \cdot \frac{5}{6}\right) = \sin\left(\frac{5}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

(2) $a=1, b=6$ のとき、$c = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$ である。 (B) において $x=0$ とすると、

$$ f_{2k}(0) = \sin(\pi(kc - 0)) = \sin\left(\frac{7}{6}k\pi\right) $$

ここで、加法定理または三角関数の性質を用いると、

$$ \sin\left(\frac{7}{6}k\pi\right) = \sin\left(k\pi + \frac{1}{6}k\pi\right) = \cos(k\pi)\sin\left(\frac{1}{6}k\pi\right) = (-1)^k \sin\left(\frac{1}{6}k\pi\right) $$

したがって、求める和の中身は次のように簡単になる。

$$ (-1)^k f_{2k}(0) = (-1)^k \cdot (-1)^k \sin\left(\frac{1}{6}k\pi\right) = \sin\left(\frac{1}{6}k\pi\right) $$

よって、求める和 $S$ は

$$ S = \sum_{k=1}^{100} \sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) $$

ここで、数列 $\sin\left(\frac{k\pi}{6}\right)$ は周期12の数列であり、1周期分（$k=1$ から $12$ まで）の和を考えると、

$$ \sum_{k=1}^{12} \sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{6} \sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) + \sum_{k=1}^{6} \sin\left(\frac{(k+6)\pi}{6}\right) $$

$$ = \sum_{k=1}^{6} \sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) + \sum_{k=1}^{6} \left( -\sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) \right) = 0 $$

$100 = 12 \times 8 + 4$ であるから、$S$ は最初の4項の和に等しい。

$$ S = \sum_{k=1}^{4} \sin\left(\frac{k\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{6}\right) $$

$$ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{3} $$

(3) (B) において $n=3, x=0$ とすると、

$$ f_6(0) = \sin(3c\pi) = \sin\left(3\pi \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\right) $$

$f_6(0) = 0$ となる条件は、$3\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$ が整数となることである。 $m$ を整数として、

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{m}{3} $$

と表せる。さいころの目より $1 \le a \le 6, \ 1 \le b \le 6$ であるから、

$$ \frac{1}{6} \le \frac{1}{a} \le 1, \quad \frac{1}{6} \le \frac{1}{b} \le 1 $$

辺々を加えて、

$$ \frac{1}{3} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le 2 $$

これより $\frac{1}{3} \le \frac{m}{3} \le 2$ となり、$m$ の取りうる値の範囲は $1 \le m \le 6$ の整数である。 各 $m$ について、条件を満たす $(a, b)$ の組を求める。

**(i)** $m=1$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} \iff ab - 3a - 3b = 0 \iff (a-3)(b-3) = 9 $$

$a-3 \le 3, \ b-3 \le 3$ より、$(a-3, b-3) = (3, 3)$ のみ適する。 よって、$(a, b) = (6, 6)$ （1通り）

**(ii)** $m=2$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{3} \iff 2ab - 3a - 3b = 0 \iff 4ab - 6a - 6b = 0 \iff (2a-3)(2b-3) = 9 $$

$2a-3 \ge -1, \ 2b-3 \ge -1$ より、$(2a-3, 2b-3) = (1, 9), (3, 3), (9, 1)$。 それぞれ解いて、$(a, b) = (2, 6), (3, 3), (6, 2)$ （3通り）

**(iii)** $m=3$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \iff ab - a - b = 0 \iff (a-1)(b-1) = 1 $$

$a-1 \ge 0, \ b-1 \ge 0$ より、$(a-1, b-1) = (1, 1)$。 よって、$(a, b) = (2, 2)$ （1通り）

**(iv)** $m=4$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{3} \iff 4ab - 3a - 3b = 0 \iff (4a-3)(4b-3) = 9 $$

$4a-3 \ge 1, \ 4b-3 \ge 1$ より、$(4a-3, 4b-3) = (1, 9), (3, 3), (9, 1)$。 $(4a-3, 4b-3) = (3, 3)$ のとき $a = \frac{3}{2}$ となり不適。 残りを解いて、$(a, b) = (1, 3), (3, 1)$ （2通り）

**(v)** $m=5$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{3} \iff 5ab - 3a - 3b = 0 \iff (5a-3)(5b-3) = 9 $$

$(5a-3, 5b-3)$ は $9$ の約数になる必要があるが、いずれの場合も $a, b$ が整数とならず不適。（0通り）

**(vi)** $m=6$ のとき

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $$

$1 \le a, b$ より $\frac{1}{a} \le 1, \ \frac{1}{b} \le 1$ であるから、等号が成立する $(a, b) = (1, 1)$ のみ。（1通り）

以上より、条件を満たす $(a, b)$ の組は全部で $1 + 3 + 1 + 2 + 0 + 1 = 8$ 通りである。 さいころの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあるため、求める確率は

$$ \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $$

解説

関数の列が与えられた場合、まずは小さな $n$ について具体的に計算し、規則性を推測して数学的帰納法で証明するアプローチが王道である。このプロセスを素早く正確に行えるかが完答の鍵となる。 小問(2)では、$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ の関係を用いて $(-1)^k$ を処理すると見通しが良くなる。 小問(3)は、分数を含む不定方程式の典型問題である。分母を払い、$(Aa - B)(Ab - B) = C$ の形に因数分解して約数の組を絞り込む手法は、頻出なので確実にマスターしておきたい。

答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$

(3) $\frac{2}{9}$