解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数は、絶対値の中身の正負によって場合分けをして外すのが基本である。本問では $|x+1|$ と $|1-x|$ (すなわち $|x-1|$) が含まれているため、$x=-1$ と $x=1$ を境にして3つの区間に分けて $f(x)$ の式を求めることから始める。

解法1

関数 $f(x) = 2|x+1| - |1-x|$ において、$|1-x| = |x-1|$ であるから、絶対値の中身が $0$ となる $x = -1, 1$ を境界として以下の3つの場合に分ける。

**(i)** $x < -1$ のとき

$x+1 < 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= -2(x+1) - \{-(x-1)\} \\ &= -2x - 2 + x - 1 \\ &= -x - 3 \end{aligned} $$

**(ii)** $-1 \leqq x < 1$ のとき

$x+1 \geqq 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2(x+1) - \{-(x-1)\} \\ &= 2x + 2 + x - 1 \\ &= 3x + 1 \end{aligned} $$

**(iii)** $x \geqq 1$ のとき

$x+1 > 0$ かつ $x-1 \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2(x+1) - (x-1) \\ &= 2x + 2 - x + 1 \\ &= x + 3 \end{aligned} $$

次に、方程式 $f(x) = 0$ を解く。

**(i)** の場合

$-x - 3 = 0$ より $x = -3$ であり、これは $x < -1$ を満たす。

**(ii)** の場合

$3x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{3}$ であり、これは $-1 \leqq x < 1$ を満たす。

**(iii)** の場合

$x + 3 = 0$ より $x = -3$ となるが、これは $x \geqq 1$ を満たさないため不適である。

以上より、方程式 $f(x) = 0$ の解は $x = -3, -\frac{1}{3}$ である。条件 $\text{ア} < \text{イ}$ より、

$$ \text{ア} = -3, \quad \text{イ} = -\frac{1}{3} $$

続いて、$-2 \leqq x \leqq 2$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

場合分けの結果から、区間の端点や折れ線の結節点における $f(x)$ の値は次のようになる。

$$ \begin{aligned} f(-2) &= -(-2) - 3 = -1 \\ f(-1) &= 3(-1) + 1 = -2 \\ f(1) &= 1 + 3 = 4 \\ f(2) &= 2 + 3 = 5 \end{aligned} $$

$y = f(x)$ のグラフはこれらの点を結ぶ折れ線となるため、区間 $-2 \leqq x \leqq 2$ における最大値は $5$ ($x = 2$ のとき)、最小値は $-2$ ($x = -1$ のとき) である。

$$ \text{ウ} = 5, \quad \text{エ} = -2 $$

最後に、不等式 $f(x) \geqq -\frac{1}{2}x + b$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件を求める。

この不等式は、次のように変形できる。

$$ b \leqq f(x) + \frac{1}{2}x $$

この不等式がすべての実数 $x$ で成り立つための条件は、$b$ が関数 $g(x) = f(x) + \frac{1}{2}x$ の最小値以下となることである。

関数 $g(x)$ を各区間について求めると、

**(i)** $x < -1$ のとき

$$ g(x) = -x - 3 + \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x - 3 $$

この区間では傾きが負であるため、単調に減少する。

**(ii)** $-1 \leqq x < 1$ のとき

$$ g(x) = 3x + 1 + \frac{1}{2}x = \frac{7}{2}x + 1 $$

この区間では傾きが正であるため、単調に増加する。

**(iii)** $x \geqq 1$ のとき

$$ g(x) = x + 3 + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x + 3 $$

この区間でも傾きが正であるため、単調に増加する。

したがって、$g(x)$ は減少から増加に転じる $x = -1$ で最小値をとる。

$$ g(-1) = -\frac{1}{2}(-1) - 3 = -\frac{5}{2} $$

よって、求める条件は $b \leqq -\frac{5}{2}$ である。

$$ \text{オ} = -\frac{5}{2} $$

解法2

後半の不等式の部分について、グラフを用いた別解を示す。

すべての実数 $x$ において $f(x) \geqq -\frac{1}{2}x + b$ が成り立つことは、座標平面上で直線 $y = -\frac{1}{2}x + b$ が常に折れ線 $y = f(x)$ の下側（境界を含む）にあることを意味する。

関数 $y = f(x)$ のグラフの傾きは、区間 $x < -1$ で $-1$、区間 $-1 < x < 1$ で $3$、区間 $x > 1$ で $1$ である。

これに対して、直線 $y = -\frac{1}{2}x + b$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

$-1 < -\frac{1}{2} < 1 < 3$ であるから、直線 $y = -\frac{1}{2}x + b$ を下から平行移動させていくと、この直線は折れ線の頂点 $(-1, -2)$ で初めて $y = f(x)$ のグラフと接する（共有点をもつ）。

したがって、直線が点 $(-1, -2)$ を通るときが $b$ の最大値となる。

$$ -2 = -\frac{1}{2}(-1) + b $$

これを解いて $b = -\frac{5}{2}$ を得る。

よって、求める $b$ の範囲は $b \leqq -\frac{5}{2}$ である。

解説

絶対値記号を含む関数の基本的な処理を問う問題である。数式のみで処理を進めても解けるが、折れ線グラフの概形を描くことで、最大値・最小値や直線との上下関係が視覚的に捉えやすくなり、計算ミスの防止にもつながる。特に後半の不等式の問題は、グラフの傾きに着目することで、解法2のように計算の負担を大幅に減らすことができる。

答え

ア：$-3$

イ：$-\frac{1}{3}$

ウ：$5$

エ：$-2$

オ：$-\frac{5}{2}$