解説

方針・初手

与えられた等式がすべての実数 $x$ について成り立つ恒等式であることを利用する。恒等式の扱い方には、主に「特定の数値を代入する（数値代入法）」と「係数を比較する（係数比較法）」の2つのアプローチがある。

本問において、係数比較法を用いると3元1次連立方程式を解くことになるため、計算量がやや多くなる。一方、等式の形に注目して両辺が $0$ になるような $x$ の値を次々と代入し、$f(x)=0$ の解（すなわち $f(x)$ の因数）を見つけていく数値代入法は、計算が少なく簡明である。

解法1

与えられた等式は以下の通りである。

$$ (x-8)f(2x) = 8(x-1)f(x) $$

この等式はすべての実数 $x$ について成り立つ恒等式である。

$x=1$ を代入すると、

$$ -7f(2) = 0 $$

これより、$f(2) = 0$ となる。

$x=8$ を代入すると、

$$ 0 = 56f(8) $$

これより、$f(8) = 0$ となる。

次に、$f(2) = 0$ を利用するため、左辺の $f(2x)$ が $f(4)$ になるように（右辺の $f(x)$ が $f(2)$ になるように）$x=2$ を代入すると、

$$ -6f(4) = 8 \cdot 1 \cdot f(2) = 0 $$

これより、$f(4) = 0$ となる。

以上より、$f(x)$ は因数定理により $(x-2)$、$(x-4)$、$(x-8)$ を因数に持つことがわかる。 $f(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式であるから、次のように決定できる。

$$ f(x) = (x-2)(x-4)(x-8) $$

逆にこのとき、左辺と右辺をそれぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} (x-8)f(2x) &= (x-8)(2x-2)(2x-4)(2x-8) \\ &= (x-8) \cdot 2(x-1) \cdot 2(x-2) \cdot 2(x-4) \\ &= 8(x-1)(x-2)(x-4)(x-8) \end{aligned} $$

$$ 8(x-1)f(x) = 8(x-1)(x-2)(x-4)(x-8) $$

となり、一致する。したがって、すべての実数 $x$ に対して与えられた等式を満たす。（十分性の確認）

展開して整理すると、以下のようになる。

$$ f(x) = x^3 - 14x^2 + 56x - 64 $$

解法2

$f(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式であるから、実数の定数 $a, b, c$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$

これを与えられた等式に代入して整理する。 左辺は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} (x-8)f(2x) &= (x-8) \{ (2x)^3 + a(2x)^2 + b(2x) + c \} \\ &= (x-8) (8x^3 + 4ax^2 + 2bx + c) \\ &= 8x^4 + 4(a-16)x^3 + 2(b-16a)x^2 + (c-16b)x - 8c \end{aligned} $$

右辺は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} 8(x-1)f(x) &= 8(x-1) (x^3 + ax^2 + bx + c) \\ &= 8x^4 + 8(a-1)x^3 + 8(b-a)x^2 + 8(c-b)x - 8c \end{aligned} $$

与えられた等式は $x$ についての恒等式であるから、両辺の各次数の係数は等しい。

$$ \begin{cases} 4(a-16) = 8(a-1) \\ 2(b-16a) = 8(b-a) \\ c-16b = 8(c-b) \end{cases} $$

第1式より、

$$ \begin{aligned} 4a - 64 &= 8a - 8 \\ 4a &= -56 \\ a &= -14 \end{aligned} $$

第2式に $a = -14$ を代入して、

$$ \begin{aligned} 2(b + 224) &= 8(b + 14) \\ 2b + 448 &= 8b + 112 \\ 6b &= 336 \\ b &= 56 \end{aligned} $$

第3式に $b = 56$ を代入して、

$$ \begin{aligned} c - 896 &= 8(c - 56) \\ c - 896 &= 8c - 448 \\ 7c &= -448 \\ c &= -64 \end{aligned} $$

以上より、$a = -14, b = 56, c = -64$ と求まる。 よって、求める3次式 $f(x)$ は以下の通りである。

$$ f(x) = x^3 - 14x^2 + 56x - 64 $$

解説

多項式の恒等式を扱う典型問題である。係数比較法は確実であるが、計算量が多く、計算ミスを誘発しやすい。一方、数値代入法は計算量が少なくスマートであるが、求めた関数が元の等式を恒真に満たすかどうか（十分性）の確認を怠ってはならない。数値代入法は「必要条件」として関数を絞り込む操作に過ぎないからである。

答え

$f(x) = x^3 - 14x^2 + 56x - 64$