解説

方針・初手

(1)は、$f(x)$ の次数を $n$ とおき、$n > 4$ と仮定して背理法を用いるか、最高次の項を比較することで示す。多項式という条件から、$x$ の負のべき乗の項が存在してはいけないことに着目する。

(2)は、(1)の結果から $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ とおける。条件(A)から係数の関係を導き、条件(B), (C)から得られる式を用いて各係数を特定していく。

解法1

**(1)**

$f(x)$ が定数関数 $f(x)=c$ ($c$ は定数) のとき、条件(A)は $cx^4 = c$ となる。これが恒等式となるためには $c=0$ である必要があり、このとき $f(x)=0$ となって条件を満たす（この場合の次数は0とするか、あるいは考えないが、$4$ 以下という条件には合致する）。

$f(x)$ を $n$ 次式 ($n \geqq 1$) とし、$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$) とおく。 条件(A)の左辺に代入して展開すると、

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right) = x^4 \left( \frac{a_n}{x^n} + \frac{a_{n-1}}{x^{n-1}} + \cdots + a_0 \right) = \frac{a_n}{x^{n-4}} + \frac{a_{n-1}}{x^{n-5}} + \cdots + a_0 x^4 $$

となる。条件(A)より、この式は多項式 $f(x)$ と等しくなるため、左辺に $x$ の負のべき乗の項が存在してはならない。

ここで、もし $n > 4$ であると仮定すると、$n-4 > 0$ である。$a_n \neq 0$ であるから、左辺には $\frac{a_n}{x^{n-4}}$ という項が残り、式全体が多項式にならない。これは右辺が多項式であることと矛盾する。

よって、$n \leqq 4$ でなければならない。 以上より、条件(A)を満たす多項式 $f(x)$ の次数は $4$ 以下であることが示された。

**(2)**

(1)より、$f(x)$ は $4$ 次以下の多項式であるから、$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ とおける。 条件(A)より、

$$ x^4 \left( \frac{a}{x^4} + \frac{b}{x^3} + \frac{c}{x^2} + \frac{d}{x} + e \right) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e $$

$$ a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e $$

これが $x$ についての恒等式となるため、両辺の同じ次数の係数を比較して、

$$ e = a, \quad d = b $$

ゆえに、$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a$ となる。

次に、条件(C) $f(1) = 1$ より、

$$ a + b + c + b + a = 1 $$

$$ 2a + 2b + c = 1 \quad \cdots \text{①} $$

条件(B) $f(1-x) = f(x)$ は任意の $x$ で成り立つ。 $x = 0$ を代入すると、$f(1) = f(0)$ となる。 条件(C)より $f(1) = 1$ であるから、$f(0) = 1$ である。 $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a$ に $x=0$ を代入して、$a = 1$ を得る。

これを①に代入して、$2 \cdot 1 + 2b + c = 1$ より、

$$ 2b + c = -1 \quad \cdots \text{②} $$

さらに、条件(B)に $x = -1$ を代入すると、$f(2) = f(-1)$ となる。 $a=1$ を用いると $f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + bx + 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(2) &= 16 + 8b + 4c + 2b + 1 = 17 + 10b + 4c \\ f(-1) &= 1 - b + c - b + 1 = 2 - 2b + c \end{aligned} $$

よって、$f(2) = f(-1)$ より、

$$ 17 + 10b + 4c = 2 - 2b + c $$

$$ 12b + 3c = -15 $$

$$ 4b + c = -5 \quad \cdots \text{③} $$

②と③の連立方程式を解く。②より $c = -1 - 2b$。 これを③に代入して、$4b + (-1 - 2b) = -5$ より $2b = -4$、よって $b = -2$。 このとき、$c = -1 - 2(-2) = 3$。

以上から、$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ と予想される。 最後に、これが条件をすべて満たすか（十分性）を確認する。 得られた式は次のように変形できる。

$$ f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = (x^2 - x + 1)^2 $$

条件(B)について確認すると、

$$ f(1-x) = \{(1-x)^2 - (1-x) + 1\}^2 = (1 - 2x + x^2 - 1 + x + 1)^2 = (x^2 - x + 1)^2 = f(x) $$

となり、確かに満たす。条件(A), (C)については係数決定の過程で同値変形を行っているため満たすことは明らかである。

したがって、求める多項式は $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ である。

解法2

**(2)** の後半、条件(B)から係数を直接比較する方法。

解法1と同様にして、条件(A)から $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a$ を得る。 条件(C) $f(1) = 1$ より、

$$ 2a + 2b + c = 1 \quad \cdots \text{①} $$

条件(B) $f(1-x) = f(x)$ より、

$$ a(1-x)^4 + b(1-x)^3 + c(1-x)^2 + b(1-x) + a = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a $$

左辺を展開して $x$ について整理する。

$$ \begin{aligned} \text{左辺} &= a(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) - b(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + c(x^2 - 2x + 1) - b(x-1) + a \\ &= ax^4 - (4a+b)x^3 + (6a+3b+c)x^2 - (4a+3b+2c+b)x + (2a+2b+c) \end{aligned} $$

これが右辺 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a$ と等しいので、両辺の係数を比較して、

$$ \begin{cases} -(4a+b) = b \\ 6a+3b+c = c \\ -(4a+4b+2c) = b \\ 2a+2b+c = a \end{cases} $$

第1式より $-4a = 2b$、すなわち $b = -2a$ である。 これを第2式に代入すると $6a + 3(-2a) = 0$ となり、これは両辺の $c$ を消去した式 $0=0$ に一致するため矛盾しない。 また第4式から $a + 2b + c = 0$ となる。ここに $b = -2a$ を代入すると $a - 4a + c = 0$ より $c = 3a$ である。 念のため第3式に $b=-2a, c=3a$ を代入して確認すると、左辺は $-(4a - 8a + 6a) = -2a$ となり、右辺の $b$ と等しくなるため成立する。 以上より、$b = -2a, c = 3a$ を得る。

これらを①に代入すると、

$$ 2a + 2(-2a) + 3a = 1 $$

$$ a = 1 $$

したがって、$b = -2, c = 3$ である。 ゆえに、$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ となる。 この解法は恒等式の係数比較による同値変形であるため、十分性の確認は不要である。

解説

恒等式の性質を用いて係数を決定していく、多項式の決定問題の典型である。

(1)は、「$x^4$ を掛けて多項式になるのだから、分母に $x^5$ 以上の項があってはいけない」という直感を数式で厳密に表現する。最高次の項に注目し、背理法を用いると論理が簡潔にまとまる。 (2)の条件(A)から得られる式は、相反方程式に見られるような係数の対称性（$a_k = a_{n-k}$）を示す特徴的な条件である。

条件(B)の処理について、解法1のように適当な数値を代入して必要条件から係数を絞り込み、後で十分性を確認する手法は、計算量を大幅に減らす上で非常に有効である。特に $x=0, 1, -1$ などの計算しやすい値を選ぶのが定石である。解法2のように愚直に係数比較を行って解くことも可能だが、展開や整理における計算ミスには十分注意が必要である。

答え

(1) 略（解説参照）

(2) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$