解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ は、問題文の定義に従い「$n \leqq x < n+1$ を満たす整数 $n$」を表す。したがって、指定された定義域 $0 \leqq x < 3$ を幅 $1$ の整数区間に分割し、それぞれの区間における関数を具体的に式で表すことから始める。(2) と (4) の共有点問題は、グラフ上の位置関係を数式または視覚的に条件化して解く。

解法1

**(1)**

定義より、$0 \leqq x < 3$ における $[x]$ の値は区間ごとに以下のようになる。

$$ y = \begin{cases} 0 & (0 \leqq x < 1) \\ 1 & (1 \leqq x < 2) \\ 2 & (2 \leqq x < 3) \end{cases} $$

したがって、求めるグラフは上記の3つの線分からなる。それぞれの線分は左端の点を含み、右端の点は含まない。

**(2)**

直線の方程式を $b = y - \frac{1}{2}x$ と変形する。点 $(x, y)$ が (1) のグラフ上を動くときの $b$ のとりうる値の範囲を求めればよい。

**(i)** $0 \leqq x < 1$ のとき $y = 0$ であるから、$b = -\frac{1}{2}x$ となる。 $0 \leqq x < 1$ より、$-\frac{1}{2} < b \leqq 0$ である。

**(ii)** $1 \leqq x < 2$ のとき $y = 1$ であるから、$b = 1 - \frac{1}{2}x$ となる。 $1 \leqq x < 2$ より、$0 < b \leqq \frac{1}{2}$ である。

**(iii)** $2 \leqq x < 3$ のとき $y = 2$ であるから、$b = 2 - \frac{1}{2}x$ となる。 $2 \leqq x < 3$ より、$\frac{1}{2} < b \leqq 1$ である。

直線が (1) のグラフと共有点をもつのは、上記のいずれかの場合を満たすときである。これらの和集合をとって、$-\frac{1}{2} < b \leqq 1$ となる。

**(3)**

(1) と同様に区間分けを行うと、関数 $y = x[x]$ は以下のようになる。

$$ y = \begin{cases} 0 & (0 \leqq x < 1) \\ x & (1 \leqq x < 2) \\ 2x & (2 \leqq x < 3) \end{cases} $$

したがって、求めるグラフは、点 $(0,0)$ から点 $(1,0)$ へ向かう線分、点 $(1,1)$ から点 $(2,2)$ へ向かう線分、点 $(2,4)$ から点 $(3,6)$ へ向かう線分からなる。いずれも左端の点を含み、右端の点は含まない。

**(4)**

曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (3) のグラフの共有点について考える。

**(i)** $a \leqq 0$ のとき $x \geqq 0$ において、放物線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ は単調に減少するか定数である。一方、(3) のグラフを構成する各線分は単調に増加するか定数であるため、放物線は各線分とそれぞれ高々1つの共有点しかもたない。 共有点を2つもつためには、3つの線分のうち2つと交わる必要がある。放物線の $y$ 切片は $\frac{5}{2}$ であるため、$2 \leqq x < 3$ の線分（$y \geqq 4$）とは交わらない。よって、$0 \leqq x < 1$ の線分と $1 \leqq x < 2$ の線分の両方と交わる必要がある。 $0 \leqq x < 1$ で $y=0$ と交わる条件は、$ax^2 + \frac{5}{2} = 0 \iff x^2 = -\frac{5}{2a}$ より、 $0 \leqq -\frac{5}{2a} < 1 \implies a < -\frac{5}{2}$ $1 \leqq x < 2$ で $y=x$ と交わる条件は、$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$ とおくと $f(1) \geqq 0$ かつ $f(2) < 0$ より、 $f(1) = a + \frac{3}{2} \geqq 0 \implies a \geqq -\frac{3}{2}$ $f(2) = 4a + \frac{1}{2} < 0 \implies a < -\frac{1}{8}$ これらを同時に満たす $a$ は存在しないため、共有点が2つになることはない。

**(ii)** $a > 0$ のとき $x \geqq 0$ において、放物線は $y \geqq \frac{5}{2}$ であるため、$0 \leqq x < 2$ の区間（$y < 2$）にある (3) のグラフとは交わらない。 したがって、放物線が (3) のグラフと相異なる2つの共有点をもつ条件は、方程式 $ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$ が $2 \leqq x < 3$ の範囲に相異なる2つの実数解をもつことである。 $h(x) = ax^2 - 2x + \frac{5}{2}$ とおく。$h(x) = 0$ が $2 \leqq x < 3$ に相異なる2解をもつ条件は、以下の4つをすべて満たすことである。

(ア) 判別式 $D > 0$ より、$1 - \frac{5}{2}a > 0 \implies a < \frac{2}{5}$ (イ) 軸 $x = \frac{1}{a}$ が $2 < \frac{1}{a} < 3 \implies \frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$ (ウ) $h(2) \geqq 0$ より、$4a - 4 + \frac{5}{2} \geqq 0 \implies a \geqq \frac{3}{8}$ (エ) $h(3) > 0$ より、$9a - 6 + \frac{5}{2} > 0 \implies a > \frac{7}{18}$

$\frac{1}{3} = \frac{24}{72}$, $\frac{3}{8} = \frac{27}{72}$, $\frac{7}{18} = \frac{28}{72}$, $\frac{2}{5} = \frac{28.8}{72}$ であるから、共通範囲は $\frac{7}{18} < a < \frac{2}{5}$ となる。

解法2

**(4) について定数分離を用いる別解**

$a \leqq 0$ のときは解法1と同様に共有点は高々1つであるから不適。以下、$a > 0$ とする。 共有点をもつのは $2 \leqq x < 3$ の区間のみである。方程式 $ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$ において、$x \neq 0$ より両辺を $x^2$ で割り $a$ について解くと、以下のようになる。

$$ a = \frac{2}{x} - \frac{5}{2x^2} $$

$g(x) = \frac{2}{x} - \frac{5}{2x^2}$ ($2 \leqq x < 3$) とおくと、曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = a$ が相異なる2つの共有点をもつ条件を求めればよい。

$$ g'(x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^3} = \frac{5 - 2x}{x^3} $$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{5}{2}$ のときである。区間 $2 \leqq x < 3$ における $g(x)$ の増減を調べる。

$g(2) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ $g\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{4}{5} - \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{25} = \frac{2}{5}$ $g(3) = \frac{2}{3} - \frac{5}{18} = \frac{7}{18}$

$\frac{3}{8} = \frac{27}{72}$, $\frac{7}{18} = \frac{28}{72}$ より、$g(2) < g(3)$ である。 $g(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最大値 $\frac{2}{5}$ をとる。したがって、直線 $y = a$ が曲線 $y = g(x)$ と相異なる2点で交わるための $a$ の範囲は、大きい方の端点の値より大きく、最大値より小さい範囲である。

$$ \frac{7}{18} < a < \frac{2}{5} $$

解説

ガウス記号の扱いの基本を問う問題である。定義域を整数区間で分割し、場合分けして考えるのが定石である。 (4) では、2次方程式の解の配置問題（解法1）として解くこともできるが、定数 $a$ を分離する手法（解法2）を用いると、計算が簡略化され、グラフの上下関係から視覚的に条件を捉えやすくなる。どちらの手法も典型的なアプローチであるため、両方習得しておきたい。

答え

(1) $0 \leqq x < 1$ のとき $y=0$

$1 \leqq x < 2$ のとき $y=1$

$2 \leqq x < 3$ のとき $y=2$

これらの左端を含み右端を含まない線分の集まりが求めるグラフとなる。

(2) $-\frac{1}{2} < b \leqq 1$

(3) $0 \leqq x < 1$ のとき $y=0$

$1 \leqq x < 2$ のとき $y=x$

$2 \leqq x < 3$ のとき $y=2x$

これらの左端を含み右端を含まない線分の集まりが求めるグラフとなる。

(4) $\frac{7}{18} < a < \frac{2}{5}$