解説

方針・初手

数列 $x_n = g^n(\alpha)$ を定めたとき、条件よりすべての $0$ 以上の整数 $n$ について $f(x_n) = x_n$ が成り立つ。$f(x) - x = 0$ は $x$ についての $2$ 次方程式であるため、実数解を高々 $2$ 個しか持たない。したがって、無限にあるように見える条件は、数列 $\{x_n\}$ に現れる値が最大でも $2$ 種類しかないという条件に帰着できることに着目する。

解法1

**(1)**

与えられた方程式は、

$$ 4x(1-x) = x $$

である。整理して、

$$ 4x^2 - 3x = 0 $$

$$ x(4x-3) = 0 $$

よって、求める $x$ の値は、

$$ x = 0, \frac{3}{4} $$

**(2)**

$x_n = g^n(\alpha)$ ($n = 0, 1, 2, \cdots$) とおく。条件($\ast$)より、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して、

$$ f(x_n) - x_n = 0 $$

が成り立つ。$f(x) = x^2 + ax + b$ より、$f(x) - x = x^2 + (a-1)x + b = 0$ は $x$ の $2$ 次方程式であるから、実数解は高々 $2$ 個である。よって、数列 $\{x_n\}$ に現れる値は高々 $2$ 種類である。

数列 $\{x_n\}$ のとり得る値の集合を $S$ とする。

**(i)** $S$ の要素数が $1$ の場合

すべての $n$ に対して $x_n = \alpha$ となる。このとき、$x_1 = g(x_0)$ より $g(\alpha) = \alpha$ が成り立つ。(1) の結果より $\alpha = 0, \frac{3}{4}$ となるが、これは $0 < \alpha < \frac{1}{2}$ を満たさないため不適。

**(ii)** $S$ の要素数が $2$ の場合

$S = \{\alpha, \beta\}$（$\alpha \neq \beta$）とする。$x_0 = \alpha$ であり、要素数が $2$ であるから $x_1 = g(\alpha) = \beta$ である。

さらに $x_2 = g(\beta)$ は $S$ の要素であるから、$\alpha$ または $\beta$ のいずれかである。

**(ア)** $g(\beta) = \beta$ の場合

$\beta$ は (1) の方程式の解であるから、$\beta = 0$ または $\frac{3}{4}$ である。

$\beta = 0$ のとき、$g(\alpha) = 0$ すなわち $4\alpha(1-\alpha) = 0$ となり、$\alpha = 0, 1$ を得るが、$0 < \alpha < \frac{1}{2}$ を満たさず不適。

$\beta = \frac{3}{4}$ のとき、$g(\alpha) = \frac{3}{4}$ すなわち $4\alpha(1-\alpha) = \frac{3}{4}$ となる。整理して、

$$ 16\alpha^2 - 16\alpha + 3 = 0 $$

$$ (4\alpha-1)(4\alpha-3) = 0 $$

これより $\alpha = \frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ を得る。$0 < \alpha < \frac{1}{2}$ を満たすのは $\alpha = \frac{1}{4}$ である。

このとき、数列 $\{x_n\}$ の値は $\frac{1}{4}$ および $\frac{3}{4}$ であり、$2$ 次方程式 $f(x) - x = 0$ はこれら $2$ 数を解にもつので、

$$ f(x) - x = \left(x - \frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{3}{4}\right) = x^2 - x + \frac{3}{16} $$

$$ f(x) = x^2 + \frac{3}{16} $$

となる。

**(イ)** $g(\beta) = \alpha$ の場合

$g(g(\alpha)) = \alpha$ となり、$\alpha$ は方程式 $g(g(x)) - x = 0$ の解である。$g(x) = 4x(1-x)$ より、

$$ \begin{aligned} g(g(x)) &= 4 \cdot 4x(1-x) \left\{ 1 - 4x(1-x) \right\} \\ &= 16x(1-x)(1 - 4x + 4x^2) \\ &= 16x(1-x)(1-2x)^2 \end{aligned} $$

展開して $x$ を引くと、

$$ \begin{aligned} g(g(x)) - x &= 16x(1 - 5x + 8x^2 - 4x^3) - x \\ &= -64x^4 + 128x^3 - 80x^2 + 15x \\ &= -x(64x^3 - 128x^2 + 80x - 15) \end{aligned} $$

ここで $g(g(x)) - x = 0$ は $g(x) - x = 0$ の解 $x = 0, \frac{3}{4}$ を必ず解にもつため、因数定理を用いて因数分解すると、

$$ g(g(x)) - x = -x(4x-3)(16x^2 - 20x + 5) $$

となる。$\alpha \neq \beta$ であるから $g(\alpha) \neq \alpha$ であり、$\alpha \neq 0, \frac{3}{4}$ である。よって $\alpha$ は $16x^2 - 20x + 5 = 0$ の解である。これを解くと、

$$ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{16} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8} $$

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ より、

$$ \frac{2}{8} < \frac{5 - \sqrt{5}}{8} < \frac{3}{8} $$

であり、もう一方の解は $\frac{1}{2}$ より大きいため、$0 < \alpha < \frac{1}{2}$ を満たすのは $\alpha = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}$ である。

このとき $\beta = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$ であり、$\alpha \neq \beta$ となる。

$2$ 次方程式 $f(x) - x = 0$ はこれら $2$ 数を解にもつため、解と係数の関係より、

$$ f(x) - x = x^2 - \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{8} + \frac{5 + \sqrt{5}}{8} \right)x + \frac{5 - \sqrt{5}}{8} \cdot \frac{5 + \sqrt{5}}{8} $$

$$ f(x) - x = x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{25 - 5}{64} = x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{5}{16} $$

$$ f(x) = x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{5}{16} $$

となる。

解説

無限回繰り返される操作に関する条件を、$2$ 次方程式の解の個数という「強い制約」から絞り込む論証型の問題である。「すべての $n$ に対して $x_n$ が特定の $2$ 次方程式の解になる」という事実から、数列 $\{x_n\}$ の値が高々 $2$ 種類しかないことを見抜けるかが最大のポイントである。また、周期 $2$ の点（$g(g(x))=x$ を満たす点）を求める計算において、$g(x)-x$ の因数があらかじめ括り出せることを知っておくと計算が大幅に省略できる。

答え

(1) $x = 0$

$x = \frac{3}{4}$

(2) $f(x) = x^2 + \frac{3}{16}$

$f(x) = x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{5}{16}$