解説

方針・初手

$x^2+4x+2$ の共通部分があるため、これを $t$ などと置き換えて、$t$ についての2次関数として扱う。置き換えた変数の取り得る値の範囲に注意して、最小値の条件から定数 $a, b$ を決定する。

解法1

$t = x^2+4x+2$ とおく。平方完成すると、

$$ t = (x+2)^2 - 2 $$

となる。 $x \geqq 0$ のとき、$(x+2)^2 \geqq 4$ であるから、$t \geqq 2$ である。 また、$f(x)$ を $t$ で表した関数を $g(t)$ とおくと、

$$ g(t) = 3at^2 + bt - a $$

となる。 条件 $ab > 0$ より、$a$ と $b$ は同符号である。 $g(t)$ の軸は $t = -\frac{b}{6a}$ であり、$a$ と $b$ が同符号であることから、$-\frac{b}{6a} < 0$ となる。 したがって、軸は $t \geqq 2$ の範囲より左側にある。

ここで $a < 0$ と仮定すると、$g(t)$ は上に凸の放物線であり、$t \geqq 2$ において単調に減少するため、最小値は存在しない。 よって最小値が存在するためには $a > 0$ が必要であり、このとき $ab > 0$ より $b > 0$ となる。 $a > 0$ かつ軸が $t < 0$ であることから、$g(t)$ は $t \geqq 2$ において単調に増加する。 したがって、$g(t)$ は $t = 2$ のときに最小となる。 最小値が $15$ であるから、

$$ g(2) = 12a + 2b - a = 11a + 2b = 15 $$

また、$f(1) = 160$ について、$x = 1$ のとき $t = 1^2+4\cdot1+2 = 7$ であるから、

$$ g(7) = 3a \cdot 7^2 + b \cdot 7 - a = 146a + 7b = 160 $$

これら2つの式を連立して解く。 $11a + 2b = 15$ より $b = \frac{15 - 11a}{2}$ として、$146a + 7b = 160$ に代入すると、

$$ 146a + 7 \cdot \frac{15 - 11a}{2} = 160 $$

$$ 292a + 105 - 77a = 320 $$

$$ 215a = 215 $$

これを解いて $a = 1$ となる。 このとき $11 \cdot 1 + 2b = 15$ より $b = 2$ である。 これらは $ab > 0$ の条件を満たす。 よって、$a = 1, b = 2$ である。

このとき、$g(t) = 3t^2 + 2t - 1$ となる。 次に、$-5 \leqq x \leqq 0$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 $t = (x+2)^2 - 2$ について、$-5 \leqq x \leqq 0$ の範囲での $t$ の値の範囲を考える。 $x = -2$ のとき、最小値 $t = -2$ をとる。 $x = -5$ のとき $t = 7$、$x = 0$ のとき $t = 2$ であるから、最大値は $t = 7$ となる。 よって、$-2 \leqq t \leqq 7$ である。

この範囲で $g(t) = 3t^2 + 2t - 1$ の最大値と最小値を調べる。 平方完成すると、

$$ g(t) = 3 \left( t + \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{4}{3} $$

となる。 $-2 \leqq t \leqq 7$ の範囲内に軸 $t = -\frac{1}{3}$ が含まれるため、最小値は $t = -\frac{1}{3}$ のときの $-\frac{4}{3}$ である。 最大値は、軸からより遠い $t = 7$ のときであり、

$$ g(7) = 3 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 160 $$

となる。

最後に、方程式 $f(x) = 0$ の実数解を求める。 $g(t) = 0$ とすると、

$$ 3t^2 + 2t - 1 = 0 $$

$$ (3t - 1)(t + 1) = 0 $$

よって、$t = \frac{1}{3}, -1$ である。 それぞれについて $x$ の値を求める。

**(i)** $t = \frac{1}{3}$ のとき

$$ x^2 + 4x + 2 = \frac{1}{3} $$

$$ 3x^2 + 12x + 5 = 0 $$

これを解いて、

$$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{21}}{3} $$

**(ii)** $t = -1$ のとき

$$ x^2 + 4x + 2 = -1 $$

$$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$

$$ (x + 1)(x + 3) = 0 $$

これを解いて、

$$ x = -1, -3 $$

これら4つの実数解のうち最大のものを探す。 $\sqrt{21} > \sqrt{16} = 4$ であるから、

$$ \frac{-6 + \sqrt{21}}{3} > \frac{-6 + 4}{3} = -\frac{2}{3} > -1 $$

したがって、最大の実数解は $\frac{-6 + \sqrt{21}}{3}$ である。

解説

共通部分を文字で置き換えて関数の次数を下げる、定石通りの問題である。 置き換えを行った際は、必ず新しい変数の定義域を確認することが重要である。 本問では、$ab > 0$ という条件から軸の位置を特定し、与えられた定義域において二次関数が単調増加であることを導き出す部分がポイントとなる。また、その後の最大値・最小値の計算や、二次方程式の解の大小比較など、論理を落とさずに処理を進める基本的な計算力が問われる。

答え

ア：$1$

イ：$2$

ウ：$160$

エ：$-\frac{4}{3}$

オ：$\frac{-6 + \sqrt{21}}{3}$