解説

方針・初手

条件式 $x^2+y^2=1$ から $y^2$ を消去し、求める式を $x$ の1変数関数として表すのが定石である。このとき、$y$ が実数であるための条件から、$x$ の変域が制限されることに注意する。

解法1

$x, y$ は実数であり、$x^2+y^2=1$ を満たす。

これから、

$$ y^2 = 1 - x^2 $$

を得る。

$y$ は実数であるから $y^2 \ge 0$ であり、

$$ 1 - x^2 \ge 0 $$

すなわち、

$$ -1 \le x \le 1 $$

である。

求める式 $x+y^2$ に $y^2=1-x^2$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} x + y^2 &= x + (1 - x^2) \\ &= -x^2 + x + 1 \\ &= -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4} \end{aligned} $$

となる。

ここで、$f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$ とおく。

$-1 \le x \le 1$ の範囲で関数 $f(x)$ の増減を調べると、放物線の軸 $x = \frac{1}{2}$ は定義域内に含まれるので、頂点で最大値をとる。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。

このとき、$y^2 = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ より、$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、実数 $y$ は確かに存在する。

最小値は、軸から遠い方の端点である $x = -1$ のときにとる。

$f(-1) = -(-1)^2 + (-1) + 1 = -1$ となる。

このとき、$y^2 = 1 - (-1)^2 = 0$ より、$y = 0$ となり、実数 $y$ は確かに存在する。

したがって、最大値は $\frac{5}{4}$、最小値は $-1$ である。

解法2

$x^2+y^2=1$ を満たす実数 $x, y$ は、実数 $\theta$ を用いて

$$ x = \cos\theta, \quad y = \sin\theta $$

と表すことができる。

このとき、求める式は

$$ \begin{aligned} x + y^2 &= \cos\theta + \sin^2\theta \\ &= \cos\theta + (1 - \cos^2\theta) \\ &= -\cos^2\theta + \cos\theta + 1 \end{aligned} $$

となる。

ここで、$t = \cos\theta$ とおくと、$\theta$ はすべての実数値をとり得るため $t$ の変域は

$$ -1 \le t \le 1 $$

となる。

このとき、求める式は $t$ の関数として

$$ g(t) = -t^2 + t + 1 = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4} $$

と表される。

$-1 \le t \le 1$ における $g(t)$ の最大値と最小値を求める。

グラフの軸 $t = \frac{1}{2}$ は定義域内に含まれる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $\frac{5}{4}$ となる。

最小値は、軸から遠い方の端点である $t = -1$ のときにとる。

$t = -1$ のとき、最小値は $-(-1)^2 + (-1) + 1 = -1$ となる。

したがって、最大値は $\frac{5}{4}$、最小値は $-1$ である。

解説

条件式を用いて文字を消去し、1変数の最大・最小問題に帰着させる典型問題である。文字を消去する際、「消去される文字が実数として存在するための条件」から、残る文字の変域を求めることが最も重要である。本問では $y^2 \ge 0$ から $-1 \le x \le 1$ を導く過程がそれに該当し、これを忘れると最小値が存在しないという誤った結論に至ってしまう。

答え

最大値: $\frac{5}{4}$

最小値: $-1$