解説

方針・初手

同じ式のまとまりである $x^2 - 2x$ を $t$ などと置き換えて関数の次数を下げる。置き換えた文字 $t$ のとり得る値の範囲（定義域）を求めることが極めて重要である。その範囲において、$t$ の 2次関数の最小値を、軸と定義域の位置関係による場合分けを行って求める。

解法1

**(1)**

$t = x^2 - 2x$ とおくと、

$$ t = (x - 1)^2 - 1 $$

となる。$x$ はすべての実数値をとるので、

$$ t \geqq -1 $$

である。

与えられた関数は $t$ を用いて次のように表される。

$$ y = t^2 + 2pt + p + 1 $$

これを平方完成すると、

$$ y = (t + p)^2 - p^2 + p + 1 $$

この関数は、下に凸の放物線であり、軸は直線 $t = -p$ である。 $t \geqq -1$ における最小値 $m$ を求めるため、軸の位置によって場合分けを行う。

**(i)** 軸が定義域に含まれる、すなわち $-p \geqq -1$（ $p \leqq 1$ ）のとき

$t \geqq -1$ において、$y$ は $t = -p$ で最小となる。 よって、

$$ m = -p^2 + p + 1 $$

**(ii)** 軸が定義域の左側にある、すなわち $-p < -1$（ $p > 1$ ）のとき

$t \geqq -1$ において、$y$ は単調に増加する。 したがって、$y$ は $t = -1$ で最小となる。 $t = -1$ のとき、$y = (-1)^2 + 2p(-1) + p + 1 = -p + 2$ よって、

$$ m = -p + 2 $$

以上より、

$$ \begin{cases} p \leqq 1 \text{ のとき } m = -p^2 + p + 1 \\ p > 1 \text{ のとき } m = -p + 2 \end{cases} $$

**(2)**

(1) の結果より、$m$ を $p$ の関数としてグラフを考え、最大値を求める。

$p \leqq 1$ のとき、

$$ m = -\left(p - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4} $$

$p \leqq 1$ の範囲に頂点 $p = \frac{1}{2}$ が含まれるため、この範囲での最大値は $p = \frac{1}{2}$ のとき $\frac{5}{4}$ である。 なお、$p = 1$ のとき $m = -1^2 + 1 + 1 = 1$ である。

$p > 1$ のとき、

$$ m = -p + 2 $$

これは傾きが負の直線の一部であり、$p = 1$ のとき $m = 1$ となるため、この範囲では $m < 1$ である。

これらを合わせると、$m$ は $p = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとることがわかる。

したがって、$m$ を最大にする $p$ の値は $p = \frac{1}{2}$ である。

解説

式の中に共通するまとまりがあれば、それを1つの文字に置き換えて見通しを良くするのは定石である。ただし、文字を置き換えた際は、**新しい文字のとり得る値の範囲（定義域）を必ず確認する**必要がある。本問では $t \geqq -1$ となるが、この制限を忘れると軸の位置による場合分けができず、誤答となる。

2次関数の最大・最小問題において、軸が動く（または定義域が動く）場合は、軸と定義域の位置関係に注目して場合分けを行う。本問は「下に凸の放物線の最小値」であり、かつ定義域の左端だけが制限されている（右側は制限がない）ため、軸が定義域の中にあるか、左外にあるかの2パターンの場合分けとなる。

答え

**(1)**

$p \leqq 1$ のとき $m = -p^2 + p + 1$

$p > 1$ のとき $m = -p + 2$

**(2)**

$p = \frac{1}{2}$