解説

方針・初手

座標平面を導入し、長方形の頂点と円の中心の座標を文字で設定する。 円が長方形の内部に含まれる条件から各円の半径の範囲を求め、2円が外接するという条件から中心間の距離に着目して方程式を立てる。

解法1

図の長方形において、点 $B$ を原点とする座標平面を設定し、辺 $BC$ が $x$ 軸上、辺 $AB$ が $y$ 軸上にくるようにする。 各頂点の座標は $B(0,0), C(3,0), D(3,2), A(0,2)$ となる。 円 $P$ は辺 $AB$ ($x=0$) と辺 $BC$ ($y=0$) に接し、長方形の内部にあるため、その中心の座標は $P(p, p)$ と表せる。 円 $Q$ は辺 $CD$ ($x=3$) と辺 $DA$ ($y=2$) に接し、長方形の内部にあるため、その中心の座標は $Q(3-q, 2-q)$ と表せる。

**(1)**

2つの円 $P, Q$ が外接するとき、中心間の距離 $PQ$ は半径の和 $p+q$ に等しい。 したがって、次が成り立つ。

$$ PQ^2 = (p+q)^2 $$

また、中心 $P(p, p)$ と $Q(3-q, 2-q)$ の2点間の距離の2乗を計算すると、以下のようになる。

$$ PQ^2 = \{(3-q) - p\}^2 + \{(2-q) - p\}^2 = \{3 - (p+q)\}^2 + \{2 - (p+q)\}^2 $$

ここで $k = p+q$ とおき、上の2式から $PQ^2$ を消去する。

$$ k^2 = (3-k)^2 + (2-k)^2 $$

$$ k^2 = 9 - 6k + k^2 + 4 - 4k + k^2 $$

$$ k^2 - 10k + 13 = 0 $$

これを解いて $k$ を求める。

$$ k = 5 \pm \sqrt{25 - 13} = 5 \pm 2\sqrt{3} $$

次に $k$ のとりうる範囲を考える。 円 $P$ と円 $Q$ はそれぞれ長方形の内部に含まれるため、それぞれの直径は長方形の最も短い辺の長さ $2$ 以下でなければならない。 すなわち $2p \le 2$ より $p \le 1$ であり、同様に $2q \le 2$ より $q \le 1$ である。 したがって、$k = p+q \le 2$ が成り立つ。 $5 + 2\sqrt{3} > 2$ であり、$5 - 2\sqrt{3} = \sqrt{25} - \sqrt{12} < \sqrt{25} - \sqrt{9} = 2$ であるから適する。

$$ k = 5 - 2\sqrt{3} $$

**(2)**

**(1)** の結果より $p+q = 5 - 2\sqrt{3}$ であるから、$q$ は $p$ を用いて次のように表せる。

$$ q = 5 - 2\sqrt{3} - p $$

円 $P, Q$ がともに長方形の内部に存在し、半径が正であるための条件は $0 < p \le 1$ かつ $0 < q \le 1$ である。 $q$ の条件式に代入する。

$$ 0 < 5 - 2\sqrt{3} - p \le 1 $$

各辺から $5 - 2\sqrt{3}$ を引く。

$$ -5 + 2\sqrt{3} < -p \le -4 + 2\sqrt{3} $$

各辺に $-1$ を掛け、不等号の向きを反転させる。

$$ 4 - 2\sqrt{3} \le p < 5 - 2\sqrt{3} $$

この範囲と $0 < p \le 1$ の共通範囲を求める。 $5 - 2\sqrt{3} = \sqrt{25} - \sqrt{12} > \sqrt{25} - \sqrt{16} = 1$ より $5 - 2\sqrt{3} > 1$ である。 $4 - 2\sqrt{3} = \sqrt{16} - \sqrt{12} > 0$ かつ $4 - 2\sqrt{3} < \sqrt{16} - \sqrt{9} = 1$ より $0 < 4 - 2\sqrt{3} < 1$ である。 よって、求める共通範囲は次のようになる。

$$ 4 - 2\sqrt{3} \le p \le 1 $$

**(3)**

円 $P$ と円 $Q$ の面積の和 $S$ を立式する。

$$ S = \pi p^2 + \pi q^2 = \pi(p^2 + q^2) $$

$k = 5 - 2\sqrt{3}$ とし、$q = k - p$ を代入して $p$ の関数として整理する。

$$ p^2 + q^2 = p^2 + (k-p)^2 = 2p^2 - 2kp + k^2 = 2\left(p - \frac{k}{2}\right)^2 + \frac{k^2}{2} $$

これは $p$ についての2次関数であり、その軸は $p = \frac{k}{2} = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{2}$ である。 **(2)** で求めた定義域 $4 - 2\sqrt{3} \le p \le 1$ における、区間の両端と軸との距離を比較する。

$$ 1 - \frac{k}{2} = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2} $$

$$ \frac{k}{2} - (4 - 2\sqrt{3}) = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{2} - \frac{8 - 4\sqrt{3}}{2} = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2} $$

両端点から軸までの距離が等しいため、軸 $p = \frac{k}{2}$ は定義域の中央に位置する。 したがって、$S$ は $p = \frac{k}{2}$ のとき最小値をとり、$p = 1$ または $p = 4 - 2\sqrt{3}$ のとき最大値をとる。

最大値は $p=1$ のときを計算して求める。

$$ S = \pi \left\{ 1^2 + (4 - 2\sqrt{3})^2 \right\} = \pi (1 + 16 - 16\sqrt{3} + 12) = (29 - 16\sqrt{3})\pi $$

最小値は $p = \frac{k}{2}$ のときを計算して求める。

$$ S = \pi \cdot \frac{k^2}{2} = \frac{\pi}{2}(5 - 2\sqrt{3})^2 = \frac{\pi}{2}(25 - 20\sqrt{3} + 12) = \frac{37 - 20\sqrt{3}}{2}\pi $$

解説

幾何の問題を座標平面上に載せて処理する、典型的な解析幾何の手法が有効である。 (1)では、長方形の辺に接する円の中心座標が、半径を用いて容易に表せることに気付くかがポイントとなる。外接する2円の中心間の距離が半径の和に等しいという条件から立式する。 (2)では、円が長方形の「内部に含まれる」という条件を、単に接するだけでなく、円が境界からはみ出さない（直径が辺の長さ以下である）という条件として数式化することが重要である。 (3)は、和が一定の2変数の2乗和の最大・最小問題であり、片方の文字を消去して2次関数の最大・最小に帰着させる定石通りに解くことができる。

答え

(1) $$ k = 5 - 2\sqrt{3} $$

(2) $$ 4 - 2\sqrt{3} \le p \le 1 $$

(3) 最大値: $(29 - 16\sqrt{3})\pi$

最小値: $\frac{37 - 20\sqrt{3}}{2}\pi$