解説

方針・初手

与えられた2次関数の式を平方完成し、グラフの軸の位置と凸の向きを把握する。軸の直線 $x=3$ は指定された区間 $1 \leqq x \leqq 4$ 内にあるため、$a$ の符号（すなわち放物線の凸の向き）によって、最大値と最小値をとる $x$ の値が決定される。これに基づいて $a>0$ と $a<0$ の場合分けを行い、それぞれの条件下で最大値と最小値の条件から $a, b$ についての連立方程式を立てる。

解法1

与えられた2次関数 $f(x) = ax^2 - 6ax + b$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= a(x^2 - 6x) + b \\ &= a(x - 3)^2 - 9a + b \end{aligned} $$

この放物線の軸は直線 $x = 3$ であり、区間 $1 \leqq x \leqq 4$ に含まれる。 区間の両端点と軸との距離を比較すると、軸 $x=3$ と端点 $x=1$ との距離は 2、端点 $x=4$ との距離は 1 である。したがって、$x=1$ の方が軸から遠い。

**(ア)** $a > 0$ の場合

$f(x)$ のグラフは下に凸の放物線となる。 区間 $1 \leqq x \leqq 4$ において、$f(x)$ は頂点 $x = 3$ で最小となり、軸から遠い端点 $x = 1$ で最大となる。 条件より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \text{最小値: } f(3) &= -9a + b = 8 \\ \text{最大値: } f(1) &= -5a + b = 11 \end{aligned} $$

これらを連立方程式として解く。

$$ \begin{cases} -9a + b = 8 \\ -5a + b = 11 \end{cases} $$

第2式から第1式を引くと $4a = 3$ となり、$a = \frac{3}{4}$ を得る。 これは前提条件 $a > 0$ を満たす。 これを第1式に代入すると、$-9 \cdot \frac{3}{4} + b = 8$ より、$b = 8 + \frac{27}{4} = \frac{59}{4}$ である。

**(イ)** $a < 0$ の場合

$f(x)$ のグラフは上に凸の放物線となる。 区間 $1 \leqq x \leqq 4$ において、$f(x)$ は頂点 $x = 3$ で最大となり、軸から遠い端点 $x = 1$ で最小となる。 条件より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \text{最大値: } f(3) &= -9a + b = 11 \\ \text{最小値: } f(1) &= -5a + b = 8 \end{aligned} $$

これらを連立方程式として解く。

$$ \begin{cases} -9a + b = 11 \\ -5a + b = 8 \end{cases} $$

第2式から第1式を引くと $4a = -3$ となり、$a = -\frac{3}{4}$ を得る。 これは前提条件 $a < 0$ を満たす。 これを第1式に代入すると、$-9 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + b = 11$ より、$b = 11 - \frac{27}{4} = \frac{17}{4}$ である。

解説

閉区間における2次関数の最大値・最小値に関する典型的な問題である。 軸の位置が $x=3$ と確定しているため、グラフの凸の向き（$a$ の符号）だけで最大値と最小値の候補が決まる。軸が区間内にある場合、頂点で最大または最小をとる。もう一方の極値は、軸から遠い方の端点でとることに着目すれば、無駄な計算を省くことができる。 連立方程式を解いて得られた $a$ の値が、最初に設定した場合分けの条件（$a>0$ または $a<0$）を満たしているかの確認を忘れないようにすることが重要である。

答え

ア: $\frac{59}{4}$

イ: $\frac{17}{4}$