解説

方針・初手

与えられた等式条件 $x^2 + y^2 = 4$ を用いて、求める式 $4x + 2y^2$ を1変数の関数に帰着させるのが基本である。$y^2$ を消去して $x$ だけの式にする方針と、円の媒介変数表示 $x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ を利用する方針が考えられる。いずれの方針をとるにせよ、変数の取りうる値の範囲（定義域）に注意する必要がある。

解法1

$x^2 + y^2 = 4$ より、

$$ y^2 = 4 - x^2 $$

である。ここで、$y$ は実数であるから $y^2 \ge 0$ が成り立つ。したがって、

$$ 4 - x^2 \ge 0 $$

$$ (x + 2)(x - 2) \le 0 $$

$$ -2 \le x \le 2 $$

となる。これが変数 $x$ の取りうる値の範囲である。

次に、求める式 $4x + 2y^2$ に $y^2 = 4 - x^2$ を代入し、$x$ の関数 $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = 4x + 2(4 - x^2) $$

$$ f(x) = -2x^2 + 4x + 8 $$

平方完成して、頂点を求める。

$$ f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 $$

$$ f(x) = -2(x - 1)^2 + 10 $$

関数 $f(x)$ は上に凸の放物線であり、定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を調べる。 軸は $x = 1$ であり、これは定義域内にある。

**(i) 最大値について** $x = 1$ のとき、最大値 $10$ をとる。 このとき、$y^2 = 4 - 1^2 = 3$ より、$y = \pm \sqrt{3}$ である。

**(ii) 最小値について** 定義域の両端を比べると、軸 $x = 1$ から最も遠いのは $x = -2$ のときである。 $x = -2$ のとき、最小値は

$$ f(-2) = -2(-2 - 1)^2 + 10 = -18 + 10 = -8 $$

となる。 このとき、$y^2 = 4 - (-2)^2 = 0$ より、$y = 0$ である。

解法2

実数 $x, y$ は $x^2 + y^2 = 4$ を満たすので、ある実数 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を用いて、

$$ \begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = 2\sin\theta \end{cases} $$

と表すことができる。これを求める式に代入する。

$$ 4x + 2y^2 = 4(2\cos\theta) + 2(2\sin\theta)^2 $$

$$ = 8\cos\theta + 8\sin^2\theta $$

ここで、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて $\cos\theta$ だけの式にする。

$$ 8\cos\theta + 8(1 - \cos^2\theta) = -8\cos^2\theta + 8\cos\theta + 8 $$

$t = \cos\theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、式は $t$ の関数 $g(t)$ として表される。

$$ g(t) = -8t^2 + 8t + 8 $$

平方完成を行う。

$$ g(t) = -8\left(t^2 - t\right) + 8 $$

$$ g(t) = -8\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 10 $$

関数 $g(t)$ は上に凸の放物線であり、定義域 $-1 \le t \le 1$ における最大値と最小値を調べる。 軸は $t = \frac{1}{2}$ である。

**(i) 最大値について** $t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $10$ をとる。 $t = \cos\theta = \frac{1}{2}$ より、$x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$。 また、$\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ より、$\sin\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$y = 2\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pm\sqrt{3}$ である。

**(ii) 最小値について** 定義域の両端を比べると、軸 $t = \frac{1}{2}$ から最も遠いのは $t = -1$ のときである。 $t = -1$ のとき、最小値は

$$ g(-1) = -8\left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + 10 = -8 \cdot \frac{9}{4} + 10 = -18 + 10 = -8 $$

となる。 $t = \cos\theta = -1$ より、$x = 2 \cdot (-1) = -2$。 また、$\sin^2\theta = 1 - (-1)^2 = 0$ より、$\sin\theta = 0$ であるから、$y = 0$ である。

解説

条件式を用いて変数を消去し、1変数の関数の最大・最小問題に帰着させる典型的な問題である。 解法1のように文字を消去する際は、「消去される文字の残した範囲」に細心の注意を払わなければならない。本問では $y^2 = 4 - x^2$ として $y$ を消去するため、$y^2 \ge 0$ つまり $4 - x^2 \ge 0$ から $x$ の定義域が制限される。この確認を怠ると、誤った最大値・最小値を導いてしまう。 解法2のような三角関数を用いた置換も有効な手法である。円の式を見た際に媒介変数表示を思いつけるようにしておくと、図形問題を含め様々な場面で役立つ。この場合、$\cos\theta$ の取りうる範囲は $-1 \le \cos\theta \le 1$ と定まるため、条件の抜け漏れが起きにくいという利点がある。

答え

最大値 $10$ （$x = 1, y = \pm\sqrt{3}$ のとき）

最小値 $-8$ （$x = -2, y = 0$ のとき）