解説

方針・初手

• (1) は $f(1)$ を計算し、与えられた不等式から $k$ の満たすべき条件を求める。
• (2) は2次関数の最大値問題である。軸の位置と定義域の中央との位置関係で場合分けを行うのが定石であるが、問題文の冒頭に「$-2 \leqq f(1) \leqq 2$ を満たしている」とあるため、(1) で求めた $k$ の範囲が大前提となっていることに注意する。
• (3) は、(1) で求めた $k$ の定義域における $M$ の最小値を求める問題となる。

解法1

**(1)**

$$f(1) = 1^2 - 2k(k+1) \cdot 1 + 1 = -2k^2 - 2k + 2$$

条件 $-2 \leqq f(1) \leqq 2$ より、

$$-2 \leqq -2k^2 - 2k + 2 \leqq 2$$

各辺を $-2$ で割ると、不等号の向きが反転して以下のようになる。

$$-1 \leqq k^2 + k - 1 \leqq 1$$

これは次の連立不等式と同値である。

$$ \begin{cases} k^2 + k - 1 \geqq -1 \\ k^2 + k - 1 \leqq 1 \end{cases} $$

第1式より、

$$k^2 + k \geqq 0$$

$$k(k+1) \geqq 0$$

よって、

$$k \leqq -1, \quad 0 \leqq k$$

第2式より、

$$k^2 + k - 2 \leqq 0$$

$$(k+2)(k-1) \leqq 0$$

よって、

$$-2 \leqq k \leqq 1$$

これらを同時に満たす $k$ の値の範囲を求めて、

$$-2 \leqq k \leqq -1, \quad 0 \leqq k \leqq 1$$

**(2)**

$f(x) = x^2 - 2k(k+1)x + 1$ は下に凸の2次関数であり、その軸は $x = k(k+1)$ である。

区間 $0 \leqq x \leqq 4$ の中央は $x = 2$ である。 下に凸の2次関数の最大値は、軸と区間の中央との位置関係で決まる。

ここで、問題の冒頭の条件により、$k$ は(1)で求めた範囲の値をとる。 (1) の解答における $k^2 + k - 2 \leqq 0$ の変形から、(1)を満たす $k$ はすべて $k(k+1) - 2 \leqq 0$、すなわち $k(k+1) \leqq 2$ を満たすことがわかる。

したがって、軸 $x = k(k+1)$ は常に区間の中央 $x = 2$ 以下である。（軸が区間の中央と一致するか、それより左側に存在する。） ゆえに、$0 \leqq x \leqq 4$ における $f(x)$ の最大値 $M$ は、軸から遠い方の端点である $x=4$ のときにとる。

$$M = f(4) = 4^2 - 2k(k+1) \cdot 4 + 1$$

$$M = -8k^2 - 8k + 17$$

**(3)**

(2) より、$M$ を $k$ の関数とみて平方完成すると、

$$M = -8 \left( k^2 + k \right) + 17 = -8 \left( k + \frac{1}{2} \right)^2 + 19$$

これは $k$ について上に凸の2次関数であり、軸は $k = -\frac{1}{2}$ である。

$M$ の最小値を考えるための $k$ の定義域は、(1) で求めた以下の範囲である。

$$-2 \leqq k \leqq -1, \quad 0 \leqq k \leqq 1$$

軸 $k = -\frac{1}{2}$ と各区間の端点との距離を比較する。 上に凸の2次関数は、軸から最も遠い点で最小値をとる。

• $k = 1$ と $k = -2$ は、ともに軸 $k = -\frac{1}{2}$ からの距離が $\frac{3}{2}$ で等しく、最も離れている。
• $k = 0$ と $k = -1$ は、ともに軸 $k = -\frac{1}{2}$ からの距離が $\frac{1}{2}$ で等しい。

したがって、$M$ は $k = -2, 1$ のときに最小値をとる。 $k=1$ を代入して計算すると、

$$M = -8(1)^2 - 8(1) + 17 = 1$$

（$k=-2$ を代入しても同様に $M=1$ となる。） よって、$M$ の最小値は $1$ である。

解説

• 問題文の冒頭に提示されている条件が、問題全体を通じた大前提となることに気づけるかが最大のポイントである。(2)で単に $k$ をすべての実数として場合分けしてしまうと、条件を見落としていることになり誤答となる。
• (2)において、軸 $x = k(k+1)$ の値の範囲を(1)の途中式である $k^2 + k - 2 \leqq 0$ からスムーズに利用できると、計算と記述の手間を大きく省くことができる。
• (3)は上に凸の2次関数の最小値問題である。定義域が2つの区間に分かれているが、軸からの距離を考えることで、最小値を与える $k$ の値を容易かつ視覚的に特定できる。

答え

(1) $-2 \leqq k \leqq -1, \quad 0 \leqq k \leqq 1$

(2) $M = -8k^2 - 8k + 17$

(3) $1$