解説

方針・初手

下に凸の放物線 $f(x) = x^2 - 1$ の区間 $t-1 \leqq x \leqq t$ における最大値と最小値を考える。 区間の幅は $1$ で一定であるから、区間が動くときの最大値は「区間の中点 $x = t - \frac{1}{2}$ と軸 $x=0$ の位置関係」で、最小値は「区間 $t-1 \leqq x \leqq t$ と軸 $x=0$ の位置関係」で場合分けして求める。

解法1

$f(x) = x^2 - 1$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x=0$ である。 区間 $t-1 \leqq x \leqq t$ の中点は $x = t - \frac{1}{2}$ である。

**(1)**

まず、最大値 $p(t)$ について考える。 区間の中点 $t - \frac{1}{2}$ と軸 $x=0$ の位置関係で場合分けする。

**(i)** $t - \frac{1}{2} \leqq 0$ すなわち $t \leqq \frac{1}{2}$ のとき

軸は区間の中点より右側にあるため、区間の左端 $x=t-1$ の方が軸から遠い。 よって、最大値は

$$ p(t) = f(t-1) = (t-1)^2 - 1 = t^2 - 2t $$

**(ii)** $t - \frac{1}{2} \geqq 0$ すなわち $t \geqq \frac{1}{2}$ のとき

軸は区間の中点より左側（または一致）にあるため、区間の右端 $x=t$ の方が軸から遠い（または等しい距離にある）。 よって、最大値は

$$ p(t) = f(t) = t^2 - 1 $$

次に、最小値 $q(t)$ について考える。 区間 $t-1 \leqq x \leqq t$ と軸 $x=0$ の位置関係で場合分けする。

**(iii)** $t \leqq 0$ のとき

軸は区間の右側にあるため、区間の右端 $x=t$ で最小となる。

$$ q(t) = f(t) = t^2 - 1 $$

**(iv)** $t-1 \leqq 0 \leqq t$ すなわち $0 \leqq t \leqq 1$ のとき

軸は区間内にあるため、頂点 $x=0$ で最小となる。

$$ q(t) = f(0) = -1 $$

**(v)** $t-1 \geqq 0$ すなわち $t \geqq 1$ のとき

軸は区間の左側にあるため、区間の左端 $x=t-1$ で最小となる。

$$ q(t) = f(t-1) = (t-1)^2 - 1 = t^2 - 2t $$

以上より、$p(t)$ と $q(t)$ はそれぞれ以下のようになる。

$$ p(t) = \begin{cases} t^2 - 2t & \left( t \leqq \frac{1}{2} \right) \\ t^2 - 1 & \left( t \geqq \frac{1}{2} \right) \end{cases} $$

$$ q(t) = \begin{cases} t^2 - 1 & \left( t \leqq 0 \right) \\ -1 & \left( 0 \leqq t \leqq 1 \right) \\ t^2 - 2t & \left( t \geqq 1 \right) \end{cases} $$

$s = p(t)$ および $s = q(t)$ のグラフは、これらの式に従って放物線や直線の一部を連続的につなぎ合わせたものとなる。

**(2)**

$h(t) = p(t) - q(t)$ とおき、(1)で求めた関数について、場合分けの境界である $t = 0, \frac{1}{2}, 1$ に従って考える。

**(i)** $t \leqq 0$ のとき

$$ h(t) = (t^2 - 2t) - (t^2 - 1) = -2t + 1 $$

この区間で $h(t)$ は単調減少であるから、$h(t) \geqq h(0) = 1$ となる。

**(ii)** $0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$$ h(t) = (t^2 - 2t) - (-1) = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 $$

この区間で $h(t)$ は単調減少であるから、$h \left( \frac{1}{2} \right) \leqq h(t) \leqq h(0)$ となり、$\frac{1}{4} \leqq h(t) \leqq 1$ となる。

**(iii)** $\frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$ のとき

$$ h(t) = (t^2 - 1) - (-1) = t^2 $$

この区間で $h(t)$ は単調増加であるから、$h \left( \frac{1}{2} \right) \leqq h(t) \leqq h(1)$ となり、$\frac{1}{4} \leqq h(t) \leqq 1$ となる。

**(iv)** $t \geqq 1$ のとき

$$ h(t) = (t^2 - 1) - (t^2 - 2t) = 2t - 1 $$

この区間で $h(t)$ は単調増加であるから、$h(t) \geqq h(1) = 1$ となる。

以上より、すべての実数 $t$ において $h(t) \geqq \frac{1}{4}$ であり、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

解説

2次関数の最大・最小において、区間が動く場合の典型的な問題である。 最大値は「軸と区間の中点との位置関係」、最小値は「軸が区間内にあるかどうか」に着目して場合分けを行うのが定石である。 (2) は (1) の結果を利用して差の関数を作るが、場合分けの境界が複数存在するため、漏れなく丁寧に区間を分けて関数を構成し、それぞれの区間での増減を調べることがポイントとなる。

答え

(1) $s = p(t)$ のグラフは、$t \leqq \frac{1}{2}$ のとき放物線 $s = t^2 - 2t$、$t \geqq \frac{1}{2}$ のとき放物線 $s = t^2 - 1$ を描いたもの（$t = \frac{1}{2}, s = -\frac{3}{4}$ でなめらかに繋がる）。

$s = q(t)$ のグラフは、$t \leqq 0$ のとき放物線 $s = t^2 - 1$、$0 \leqq t \leqq 1$ のとき直線 $s = -1$、$t \geqq 1$ のとき放物線 $s = t^2 - 2t$ を描いたもの（$t = 0, 1$ でなめらかに繋がる）。

(2) 最小値 $\frac{1}{4}$