解説

方針・初手

与えられた2次関数 $f(x)$ を平方完成し、放物線の軸の位置を把握する。 定義域は幅 $2$ の区間 $m \leqq x \leqq m+2$ であり、$m$ の値によってこの区間全体が移動する。 固定された軸と動く定義域の相対的な位置関係によって最小値のとり方が変わるため、(1) および (2) の誘導に従って場合分けを行い、最小値 $g$ を $m$ の関数として求める。 (3) では、求めた $g(m)$ の各区間における増減を調べ、全体での最小値を特定する。

解法1

関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$ f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + m - \frac{9}{4} $$

放物線の軸は直線 $x = -\frac{3}{2}$ であり、下に凸である。 定義域は区間 $m \leqq x \leqq m+2$ である。

**(1)** $m > -\frac{3}{2}$ のとき、区間の左端 $m$ は軸より右側にある。 したがって、区間 $m \leqq x \leqq m+2$ において関数 $f(x)$ は単調に増加する。 よって、最小値 $g$ は $x = m$ のときにとる。

$$ g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m $$

**(2)** $m \leqq -\frac{3}{2}$ のとき、軸 $x = -\frac{3}{2}$ は区間の左端 $m$ 以上である。 区間の右端 $m+2$ と軸の位置関係によってさらに場合分けを行う。

**(ア)** $m+2 < -\frac{3}{2}$ すなわち $m < -\frac{7}{2}$ のとき 軸 $x = -\frac{3}{2}$ は区間の右側にある。 したがって、区間 $m \leqq x \leqq m+2$ において関数 $f(x)$ は単調に減少する。 よって、最小値 $g$ は $x = m+2$ のときにとる。

$$ \begin{aligned} g &= f(m+2) \\ &= (m+2)^2 + 3(m+2) + m \\ &= m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m \\ &= m^2 + 8m + 10 \end{aligned} $$

**(イ)** $-\frac{3}{2} \leqq m+2$ すなわち $m \geqq -\frac{7}{2}$ のとき 条件 $m \leqq -\frac{3}{2}$ と合わせて、$-\frac{7}{2} \leqq m \leqq -\frac{3}{2}$ のときを考える。 このとき、軸 $x = -\frac{3}{2}$ は区間 $m \leqq x \leqq m+2$ に含まれる。 よって、最小値 $g$ は頂点 $x = -\frac{3}{2}$ のときにとる。

$$ g = f\left(-\frac{3}{2}\right) = m - \frac{9}{4} $$

以上より、$m \leqq -\frac{3}{2}$ のときの $g$ は以下のようになる。

$$ \begin{cases} g = m^2 + 8m + 10 & \left(m < -\frac{7}{2} \text{ のとき}\right) \\ g = m - \frac{9}{4} & \left(-\frac{7}{2} \leqq m \leqq -\frac{3}{2} \text{ のとき}\right) \end{cases} $$

**(3)** (1), (2) の結果から、関数 $g$ は $m$ の値によって次のように定まる。

$$ g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & \left(m < -\frac{7}{2}\right) \\ m - \frac{9}{4} & \left(-\frac{7}{2} \leqq m \leqq -\frac{3}{2}\right) \\ m^2 + 4m & \left(-\frac{3}{2} < m\right) \end{cases} $$

それぞれの範囲における $g$ の最小値を調べる。

**(i)** $m < -\frac{7}{2}$ のとき 平方完成すると、以下のようになる。

$$ g = (m+4)^2 - 6 $$

軸は $m = -4$ であり、区間 $m < -\frac{7}{2}$ に含まれる。 よって、この範囲における最小値は $m = -4$ のとき $g = -6$ である。

**(ii)** $-\frac{7}{2} \leqq m \leqq -\frac{3}{2}$ のとき 関数 $g = m - \frac{9}{4}$ は傾き $1$ の直線の一部であり、単調に増加する。 よって、この範囲における最小値は $m = -\frac{7}{2}$ のときにとり、値は以下の通りである。

$$ g = -\frac{7}{2} - \frac{9}{4} = -\frac{23}{4} $$

**(iii)** $m > -\frac{3}{2}$ のとき 平方完成すると、以下のようになる。

$$ g = (m+2)^2 - 4 $$

軸は $m = -2$ であり、区間 $m > -\frac{3}{2}$ には含まれない。 この範囲において $g$ は単調に増加するため、最小値を持たない。（値域は $g > -\frac{15}{4}$ となる。）

以上の **(i)**, **(ii)**, **(iii)** より、関数 $g$ の全体での最小値は、$-6$ と $-\frac{23}{4}$ のうちの小さい方となる。

$$ -6 = -\frac{24}{4} < -\frac{23}{4} $$

したがって、求める $g$ の最小値は $-6$ である。

解説

2次関数の最小値の最小値を求める典型的な多段構造の問題である。 本問は、放物線の軸 $x = -\frac{3}{2}$ が定数であるのに対し、定義域 $[m, m+2]$ が移動する。まずは「軸と定義域の位置関係」により、左端、頂点、右端のどこで最小値をとるかの3通りに場合分けをする必要がある。問題文の (1) と (2) がその場合分けの誘導となっている。 後半の (3) では、場合分けして得られた $g(m)$ のグラフを考えることになる。それぞれの区間における関数の形（放物線、直線）から増減を調べ、各区間での最小値を比較する。関数 $g(m)$ は区間の境界 $m = -\frac{7}{2}$ や $m = -\frac{3}{2}$ において値が一致する（連続関数となる）ため、検算の指標として利用できる。

答え

(1) $g = m^2 + 4m$

(2) $m < -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10$、$-\frac{7}{2} \leqq m \leqq -\frac{3}{2}$ のとき $g = m - \frac{9}{4}$

(3) 最小値 $-6$