解説

方針・初手

相似な三角形に注目して、長方形の縦の長さ（$DE$ または $GF$）を $x$ を用いて表す。長方形の面積は（縦）$\times$（横）であるから、面積を $x$ の2次関数として立式し、平方完成によって最大値を求める。長方形が三角形に内接するという幾何学的な条件から、$x$ の定義域（とりうる値の範囲）を確認しておくことも重要である。

解法1

**(1)**

長方形 $DEFG$ において $DG \parallel BC$ であるから、$\triangle ABC \sim \triangle ADG$ である。 相似比は $BC : DG = 10 : x$ である。

したがって、対応する底辺に対する高さの比も $10 : x$ となる。 $\triangle ABC$ の底辺 $BC$ に対する高さは $AH=19$ であるから、$\triangle ADG$ の底辺 $DG$ に対する高さを $h$ とおくと、

$$ 10 : x = 19 : h $$

$$ h = \frac{19}{10}x $$

が成り立つ。長方形の縦の長さ $DE$ は $AH - h$ であるから、

$$ DE = 19 - \frac{19}{10}x $$

と表せる。長方形 $DEFG$ の面積を $S$ とおくと、

$$ S = EF \cdot DE = x \left( 19 - \frac{19}{10}x \right) = -\frac{19}{10}x^2 + 19x $$

となる。また、点 $E, F$ は線分 $BC$ 上にあり、長方形が存在する条件から、辺の長さ $x$ のとりうる値の範囲は $0 < x < 10$ である。

**(2)**

(1)で求めた面積 $S$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} S &= -\frac{19}{10}x^2 + 19x \\ &= -\frac{19}{10} (x^2 - 10x) \\ &= -\frac{19}{10} \{ (x - 5)^2 - 25 \} \\ &= -\frac{19}{10} (x - 5)^2 + \frac{95}{2} \end{aligned} $$

$0 < x < 10$ の範囲において、関数 $S$ は $x = 5$ のとき最大値をとる。 そのときの最大値は $\frac{95}{2}$ である。

解法2

**(1)**

$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形であり、$AH \perp BC$ であるから、点 $H$ は辺 $BC$ の中点である。 よって、$BH = \frac{1}{2}BC = 5$ である。

長方形 $DEFG$ は直線 $AH$ に関して対称であるから、点 $H$ は線分 $EF$ の中点でもある。 よって、$EH = \frac{1}{2}EF = \frac{x}{2}$ である。 これより、$BE = BH - EH = 5 - \frac{x}{2}$ となる。

$\triangle ABH$ と $\triangle DBE$ において、$\angle AHB = \angle DEB = 90^\circ$、共通の角より $\angle ABH = \angle DBE$ であるから、$\triangle ABH \sim \triangle DBE$ である。 ゆえに、$BH : BE = AH : DE$ が成り立つから、

$$ 5 : \left( 5 - \frac{x}{2} \right) = 19 : DE $$

$$ 5 DE = 19 \left( 5 - \frac{x}{2} \right) $$

$$ DE = 19 - \frac{19}{10}x $$

長方形の面積 $S$ は、

$$ S = EF \cdot DE = x \left( 19 - \frac{19}{10}x \right) = -\frac{19}{10}x^2 + 19x $$

である。

**(2)**

解法1と同様に平方完成を行うことにより、$x=5$ のとき最大値 $\frac{95}{2}$ を得る。

解説

図形に内接する長方形の面積の最大値を求める、2次関数の典型的な応用問題である。未知の長さを文字 $x$ で表すために、直角三角形の相似（$\triangle ABH \sim \triangle DBE$）や、底辺に平行な線分によってできる相似（$\triangle ABC \sim \triangle ADG$）を利用する。どちらの相似に注目しても計算量はほとんど変わらない。

求めた面積が2次関数になるため、平方完成により最大値を求めることができるが、このとき図形的な制約から生じる変域（$0 < x < 10$）を明記し、その範囲内に頂点が含まれていることを確認する習慣をつけておくべきである。

答え

(1) $19x - \frac{19}{10}x^2$

(2) 最大値 $\frac{95}{2}$ ($x = 5$ のとき)