解説

方針・初手

$x^2-3x$ という共通のまとまりがあるため、これを $t$ とおいて $t$ の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。変数を置き換えた際は、新しい変数の取り得る値の範囲（定義域）を必ず確認することが鉄則である。

解法1

$x^2-3x=t$ とおく。

$t$ を $x$ の関数とみて平方完成すると、

$$ t = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} $$

となる。

$x$ の定義域が $1 \leqq x \leqq 4$ であるから、この区間における $t$ の値の範囲を調べる。 放物線 $t = x^2-3x$ の軸は直線 $x = \frac{3}{2}$ であり、これは区間 $1 \leqq x \leqq 4$ に含まれる。 $x=1$ のとき $t=-2$、$x=4$ のとき $t=4$ であるため、$t$ のとりうる値の範囲は、

$$ -\frac{9}{4} \leqq t \leqq 4 $$

となる。

次に、与えられた関数 $y$ を $t$ の式で表すと、

$$ y = t^2 - 9t $$

となる。これを平方完成すると、

$$ y = \left(t - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{81}{4} $$

となる。

$y$ は $t$ の2次関数であり、そのグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $t = \frac{9}{2}$ である。 $t$ の変域 $-\frac{9}{4} \leqq t \leqq 4$ は、軸 $t = \frac{9}{2}$ よりも左側にあるため、この区間において $y$ は単調に減少する。

したがって、$y$ は $t = -\frac{9}{4}$ のときに最大となり、$t = 4$ のときに最小となる。

最大値は、

$$ y = \left(-\frac{9}{4}\right)^2 - 9 \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{81}{16} + \frac{81}{4} = \frac{81 + 324}{16} = \frac{405}{16} $$

である。このとき、$x = \frac{3}{2}$ である。

最小値は、

$$ y = 4^2 - 9 \cdot 4 = 16 - 36 = -20 $$

である。このとき、$x^2-3x=4$ より $x^2-3x-4=0$ すなわち $(x-4)(x+1)=0$ となるが、$1 \leqq x \leqq 4$ の範囲において $x=4$ である。

解説

共通部分を別の文字で置き換えて式を簡略化する典型問題である。「変数を置き換えたら、必ず新しい変数の変域を求める」という原則の徹底が求められる。2次関数の最大・最小を2段階で処理するだけであるため、平方完成の計算や分数の計算ミスに気をつけて完答したい。

答え

最大値 $\frac{405}{16}$ （$x=\frac{3}{2}$ のとき）

最小値 $-20$ （$x=4$ のとき）