解説

方針・初手

(1) 2次関数の最大値を求める問題である。関数 $f(x)$ を平方完成して頂点と軸の位置を求め、軸と定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ の位置関係によって場合分けを行う。

(2) 線分 $l$ は直線 $y=3$ の $2 \leqq x \leqq 3$ の部分である。したがって、曲線 $y=f(x)$ と線分 $l$ が共有点をもつための条件は、方程式 $f(x)=3$ が $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。方程式を具体的に解いて条件を求めるか、文字を分離して値域として捉える手法が有効である。

解法1

(1) 関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= -a^2x^2 + 4ax \\ &= -a^2 \left( x^2 - \frac{4}{a}x \right) \\ &= -a^2 \left( x - \frac{2}{a} \right)^2 + 4 \end{aligned} $$

これより、放物線 $y=f(x)$ は上に凸であり、軸は直線 $x = \frac{2}{a}$、頂点の座標は $\left(\frac{2}{a}, 4\right)$ である。 $a$ は正の実数であるから、軸の位置は $x > 0$ である。 軸 $x = \frac{2}{a}$ と定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ の位置関係で場合分けを行う。

**(i)** 軸が定義域の右側にあるとき すなわち、$\frac{2}{a} > 3$ のとき、$a>0$ より $0 < a < \frac{2}{3}$ である。 このとき、$f(x)$ は $0 \leqq x \leqq 3$ において単調に増加するため、$x=3$ で最大値をとる。

$$ f(3) = -a^2 \cdot 3^2 + 4a \cdot 3 = -9a^2 + 12a $$

**(ii)** 軸が定義域内にあるとき すなわち、$0 < \frac{2}{a} \leqq 3$ のとき、$a>0$ より $a \geqq \frac{2}{3}$ である。 このとき、$f(x)$ は頂点で最大値をとる。最大値は $4$ である。

以上より、求める最大値は $0 < a < \frac{2}{3}$ のとき、$-9a^2 + 12a$ $a \geqq \frac{2}{3}$ のとき、$4$

(2) 線分 $l$ は $2 \leqq x \leqq 3$ における直線 $y=3$ である。 曲線 $y=f(x)$ と線分 $l$ が共有点をもつための条件は、方程式 $f(x) = 3$ が $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。

方程式 $f(x) = 3$ を解く。

$$ -a^2x^2 + 4ax = 3 $$

$$ a^2x^2 - 4ax + 3 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (ax - 1)(ax - 3) = 0 $$

$a>0$ であるから、解は $x = \frac{1}{a}, \frac{3}{a}$ となる。 したがって、これらの解のうち少なくとも一方が $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲に含まれればよい。 $a>0$ より常に $\frac{1}{a} < \frac{3}{a}$ である。

条件は $2 \leqq \frac{1}{a} \leqq 3$ または $2 \leqq \frac{3}{a} \leqq 3$ が成り立つことである。

それぞれについて $a$ の範囲を求める。$a>0$ であることに注意して各辺の逆数をとる。

$2 \leqq \frac{1}{a} \leqq 3$ を解くと、

$$ \frac{1}{3} \leqq a \leqq \frac{1}{2} $$

$2 \leqq \frac{3}{a} \leqq 3$ を解くと、$\frac{1}{3} \leqq \frac{a}{3} \leqq \frac{1}{2}$ より

$$ 1 \leqq a \leqq \frac{3}{2} $$

これら2つの範囲に共通部分はないため、求める $a$ の値の範囲は

$$ \frac{1}{3} \leqq a \leqq \frac{1}{2}, \quad 1 \leqq a \leqq \frac{3}{2} $$

解法2

(2) の別解を示す。

曲線 $y=f(x)$ と線分 $l$ が共有点をもつ条件は、方程式 $f(x)=3$ すなわち $a^2x^2 - 4ax + 3 = 0$ を満たす実数 $x$ が $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲に存在することである。 この方程式を $a$ についての方程式とみる。$x \geqq 2$ より $x \neq 0$ であるから、

$$ x^2a^2 - 4xa + 3 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (xa - 1)(xa - 3) = 0 $$

これを $a$ について解くと、$a = \frac{1}{x}, \frac{3}{x}$ を得る。 $x$ が $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲を動くときの $a$ のとり得る値の範囲を求めればよい。

関数 $y = \frac{1}{x}$ は $x>0$ において単調に減少するから、$2 \leqq x \leqq 3$ のとき

$$ \frac{1}{3} \leqq \frac{1}{x} \leqq \frac{1}{2} $$

関数 $y = \frac{3}{x}$ は $x>0$ において単調に減少するから、$2 \leqq x \leqq 3$ のとき

$$ 1 \leqq \frac{3}{x} \leqq \frac{3}{2} $$

したがって、求める $a$ の値の範囲は

$$ \frac{1}{3} \leqq a \leqq \frac{1}{2}, \quad 1 \leqq a \leqq \frac{3}{2} $$

解説

(1) は2次関数の最大値を求める典型問題である。軸の位置が定数 $a$ によって変化するため、軸と定義域の位置関係による場合分けが必要となる。$a$ が正の実数であるという条件を見落とさず、場合分けを適切に絞り込むことがポイントである。

(2) は曲線と線分の共有点の条件を数式に翻訳する力が問われる。方程式 $f(x)=3$ を $x$ について解き、その解が指定された範囲に入るような $a$ の条件を求める手法（解法1）が直接的で分かりやすい。また、解法2のように方程式を文字定数 $a$ について解き直し、$x$ を動かしたときの $a$ の値域を求めるという視点（逆像法）も、見通しよく解答を導けるため非常に有効である。

答え

(1) $0 < a < \frac{2}{3}$ のとき 最大値 $-9a^2+12a$ （$x=3$ のとき）

$a \geqq \frac{2}{3}$ のとき 最大値 $4$ （$x=\frac{2}{a}$ のとき）

(2) $\frac{1}{3} \leqq a \leqq \frac{1}{2}, \quad 1 \leqq a \leqq \frac{3}{2}$

（数直線への図示は、$\frac{1}{3}$ 以上 $\frac{1}{2}$ 以下、および $1$ 以上 $\frac{3}{2}$ 以下の区間を太線と黒丸で表す）