解説

方針・初手

与えられた条件式が1次式であるため、一方の文字について解き、もう一方の文字に代入して1文字消去を行うのが定石である。分数が出てくるのを避けるため、$x$ を消去して $y$ についての2次関数として扱うと計算がスムーズに進む。

解法1

$x+3y=4$ より

$$ x = -3y+4 $$

これを $2x^2+xy+y^2$ に代入する。

$$ \begin{aligned} 2x^2+xy+y^2 &= 2(-3y+4)^2 + (-3y+4)y + y^2 \\ &= 2(9y^2 - 24y + 16) - 3y^2 + 4y + y^2 \\ &= 18y^2 - 48y + 32 - 2y^2 + 4y \\ &= 16y^2 - 44y + 32 \end{aligned} $$

得られた $y$ についての2次式を平方完成する。

$$ \begin{aligned} 16y^2 - 44y + 32 &= 16\left(y^2 - \frac{11}{4}y\right) + 32 \\ &= 16\left(y - \frac{11}{8}\right)^2 - 16 \left(\frac{11}{8}\right)^2 + 32 \\ &= 16\left(y - \frac{11}{8}\right)^2 - \frac{121}{4} + \frac{128}{4} \\ &= 16\left(y - \frac{11}{8}\right)^2 + \frac{7}{4} \end{aligned} $$

$y$ は実数であるから、$y = \frac{11}{8}$ のとき最小値 $\frac{7}{4}$ をとる。

このとき、$x$ の値は

$$ x = -3 \cdot \frac{11}{8} + 4 = -\frac{33}{8} + \frac{32}{8} = -\frac{1}{8} $$

となり、実数として存在する。

したがって、求める最小値は $\frac{7}{4}$ である。

解法2

$2x^2+xy+y^2 = k$ とおく。

$x+3y=4$ より $x = -3y+4$ であり、これを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} 2(-3y+4)^2 + (-3y+4)y + y^2 &= k \\ 16y^2 - 44y + 32 - k &= 0 \end{aligned} $$

$x, y$ は実数であるから、この $y$ についての2次方程式は実数解をもたなければならない。 判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= (-22)^2 - 16(32 - k) \\ &= 484 - 512 + 16k \\ &= 16k - 28 \end{aligned} $$

実数解をもつ条件 $D \ge 0$ より

$$ 16k - 28 \ge 0 $$

$$ k \ge \frac{7}{4} $$

等号成立条件は $D=0$ のときであり、このとき2次方程式は重解をもつ。

$$ y = -\frac{-44}{2 \cdot 16} = \frac{11}{8} $$

対応する $x$ は

$$ x = -3 \cdot \frac{11}{8} + 4 = -\frac{1}{8} $$

となり、実数 $x, y$ は確かに存在する。

よって、求める最小値は $\frac{7}{4}$ である。

解説

条件付きの2変数関数の最大・最小問題における最も基本的な解法である「1文字消去」を用いる典型問題である。消去する文字を選ぶ際は、代入後の展開や計算がなるべく煩雑にならない方（係数が分数にならない方など）を選ぶのが定石である。本問であれば $x$ を消去する方針をとることで、計算ミスを防ぎやすくなる。

別解として示した、式の値を $k$ とおいて実数解をもつ条件（判別式）に帰着させる解法も、応用範囲が広い強力な手法である。

答え

$\frac{7}{4}$