解説

方針・初手

$x^2 + 2x + 2 = t$ とおいて、$f(x)$ を $t$ の関数とみなす。このとき、$t$ の取りうる値の範囲（定義域）に注意する。置き換えた後の関数について、最小値の条件から未知数 $a, b$ を決定していく。

解法1

$t = x^2 + 2x + 2$ とおく。

$$ t = (x + 1)^2 + 1 $$

$x$ は実数全体を動くので、$t$ の取りうる値の範囲は $t \geqq 1$ である。

このとき、$f(x)$ を $t$ の関数として $g(t)$ とおくと、

$$ g(t) = at^2 + 2at + b $$

となる。$g(t)$ は $t \geqq 1$ において最小値 $6$ をもつ。

ここで、$a$ の値によって場合分けを行う。

**(i) $a = 0$ のとき**

$g(t) = b$ （定数関数）となる。

最小値が $6$ であることから $b = 6$ となるが、このとき $x=0$ の場合を考えると $t = 2$ となり $f(0) = g(2) = 6$ となる。これは $f(0) = 11$ という条件に矛盾する。よって、$a \neq 0$ である。

**(ii) $a > 0$ のとき**

$g(t)$ を平方完成すると、

$$ g(t) = a(t + 1)^2 - a + b $$

となる。$y = g(t)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $t = -1$ である。

定義域は $t \geqq 1$ であるから、この区間において $g(t)$ は単調に増加する。

したがって、$g(t)$ は $t = 1$ のとき最小となる。

$$ g(1) = a \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + b = 3a + b $$

最小値が $6$ であるから、

$$ 3a + b = 6 \quad \cdots \text{①} $$

また、$x = 0$ のとき $t = 0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$ である。$f(0) = 11$ であるから、

$$ f(0) = g(2) = a \cdot 2^2 + 2a \cdot 2 + b = 8a + b $$

よって、

$$ 8a + b = 11 \quad \cdots \text{②} $$

①、②の連立方程式を解く。② - ① より、

$$ 5a = 5 $$

$$ a = 1 $$

これを①に代入して、

$$ 3 \cdot 1 + b = 6 $$

$$ b = 3 $$

これは $a > 0$ を満たしている。

**(iii) $a < 0$ のとき**

$y = g(t)$ のグラフは上に凸の放物線であり、軸は直線 $t = -1$ である。

定義域 $t \geqq 1$ において、$g(t)$ は単調に減少する。$t$ はいくらでも大きな値をとれるため、$g(t)$ の値はいくらでも小さくなり、最小値は存在しない。これは最小値が $6$ であることに矛盾する。

よって、$a < 0$ は不適である。

以上より、$a = 1, b = 3$ である。

このとき、$f(x)$ が最小値をとるのは $t = 1$ のときである。

$$ (x + 1)^2 + 1 = 1 $$

$$ (x + 1)^2 = 0 $$

これより $x = -1$ である。すなわち、$f(-1) = 6$ となる。

次に $f(1)$ の値を求める。

$a = 1, b = 3$ より、$g(t) = t^2 + 2t + 3$ である。

$x = 1$ のとき、$t = 1^2 + 2 \cdot 1 + 2 = 5$ であるから、

$$ f(1) = g(5) = 5^2 + 2 \cdot 5 + 3 = 25 + 10 + 3 = 38 $$

となる。

解説

共通の式を置き換えて関数の次数を下げる典型問題である。置き換えを行った際は、新しい変数の定義域を必ず確認することが重要である。本問では $t = x^2 + 2x + 2$ とおいたことで $t \geqq 1$ という制限がつく。

また、$t$ の2次関数の最小値を考える際、最高次係数 $a$ の符号によってグラフの形（上に凸か下に凸か）が変わるため、場合分けが必要になる。最小値の存在条件から $a > 0$ を絞り込む論理展開に注意したい。

答え

$a = 1$

$b = 3$

$f(-1) = 6$ となるため、空欄に入るのは $1$

$f(1) = 38$