解説

方針・初手

図形の問題であるが、長さや角度の条件が明確に与えられているため、座標平面を導入して図形を数式として処理する方針が有効である。 点 A を原点とし、辺 AB を $X$ 軸上、辺 AD を $Y$ 軸上にとることで、各頂点や折り返した点の座標を変数 $x$ を用いて表し、面積の計算に持ち込む。長方形の辺の長さの比が $1:\sqrt{3}$ であることから、$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形の性質を利用すると計算量を大幅に減らすことができる。

解法1

点 A を原点 $(0,0)$ とし、辺 AB を含む直線を $X$ 軸、辺 AD を含む直線を $Y$ 軸とする座標平面を設定する。 これにより、各頂点の座標は B$(1, 0)$、D$(0, \sqrt{3})$、C$(1, \sqrt{3})$ と表せる。 点 P は辺 AB 上にあり $\text{AP} = x$ であるから、P$(x, 0)$ となる。 直線 BD の方程式は $\frac{X}{1} + \frac{Y}{\sqrt{3}} = 1$ より $Y = -\sqrt{3}X + \sqrt{3}$ であり、傾きは $-\sqrt{3}$ である。 直線 PQ は直線 BD と平行であり点 P$(x, 0)$ を通るため、その方程式は $Y = -\sqrt{3}(X - x)$ となる。 点 Q はこの直線と $Y$ 軸（辺 AD）との交点であるから、Q$(0, \sqrt{3}x)$ となる。 ここで、$\text{AP} = x$、$\text{AQ} = \sqrt{3}x$ より、直角三角形 APQ の辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ であり、$\angle \text{APQ} = 60^\circ$、$\angle \text{AQP} = 30^\circ$ である。

**(1)**

点 A を直線 PQ で折り返した点を A$'$ とする。 折り返しの性質から $\triangle \text{A}'\text{PQ} \equiv \triangle \text{APQ}$ であり、$\text{A}'\text{P} = x$、$\angle \text{A}'\text{PQ} = 60^\circ$ である。 $\angle \text{APA}' = \angle \text{APQ} + \angle \text{A}'\text{PQ} = 120^\circ$ となるため、線分 PA$'$ と $X$ 軸の正の向きとのなす角は $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ である。 点 A$'$ から $X$ 軸に下ろした垂線の足を H とすると、直角三角形 A$'$PH において $\text{PH} = x \cos 60^\circ = \frac{1}{2}x$、$\text{A}'\text{H} = x \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ である。 したがって、点 A$'$ の座標は $\left(x + \frac{1}{2}x, \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) = \left(\frac{3}{2}x, \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$ となる。 点 A$'$ が長方形の内部（周上を含む）にとどまる条件は、 $$ 0 \leqq \frac{3}{2}x \leqq 1 \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}x \leqq \sqrt{3} $$ である。これを解くと、前者から $x \leqq \frac{2}{3}$、後者から $x \leqq 2$ となるため、共通範囲をとって $x \leqq \frac{2}{3}$ である。 $x$ の定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ と合わせて、求める範囲は $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ である。

**(2)**

$x$ の値によって、折り返した三角形 $\triangle \text{A}'\text{PQ}$ が長方形からはみ出すかどうかが変わるため、場合分けを行う。

**(i)** $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ のとき

点 A$'$ は長方形の内部にあるため、$\triangle \text{A}'\text{PQ}$ 全体が長方形と重なる。 $$ S(x) = \triangle \text{A}'\text{PQ} = \triangle \text{APQ} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 $$

**(ii)** $\frac{2}{3} < x \leqq 1$ のとき

点 A$'$ は辺 BC（直線 $X=1$）の右側にはみ出す。 はみ出す部分は、線分 A$'$P と辺 BC の交点を E、線分 A$'$Q と辺 BC の交点を F としたときの直角三角形 $\triangle \text{A}'\text{EF}$ である。 点 A$'$ から直線 $X=1$ に下ろした垂線の長さ $h$ は、 $$ h = \frac{3}{2}x - 1 $$ である。 また、$\angle \text{PA}'\text{Q} = 90^\circ$ より $\triangle \text{A}'\text{EF}$ は $\angle \text{A}' = 90^\circ$ の直角三角形である。 線分 A$'$P は $X$ 軸の正の向きと $60^\circ$ の角をなすため、$Y$ 軸に平行な辺 BC とのなす角 $\angle \text{A}'\text{EF}$ は錯角の関係などから $30^\circ$ となる。 したがって、$\triangle \text{A}'\text{EF}$ は辺の比が $1:\sqrt{3}:2$ の直角三角形であり、$\text{A}'\text{E} = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h$、$\text{A}'\text{F} = \frac{h}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}h$ である。 はみ出す部分の面積は、 $$ \triangle \text{A}'\text{EF} = \frac{1}{2} \cdot \text{A}'\text{E} \cdot \text{A}'\text{F} = \frac{1}{2} \cdot 2h \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}h = \frac{2\sqrt{3}}{3}h^2 $$ これに $h = \frac{3}{2}x - 1 = \frac{1}{2}(3x - 2)$ を代入して、 $$ \triangle \text{A}'\text{EF} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{4}(3x - 2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{6}(3x - 2)^2 $$ よって、重なる部分の面積 $S(x)$ は、 $$ \begin{aligned} S(x) &= \triangle \text{A}'\text{PQ} - \triangle \text{A}'\text{EF} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{6}(3x - 2)^2 \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \left\{ 3x^2 - (9x^2 - 12x + 4) \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} (-6x^2 + 12x - 4) \\ &= -\sqrt{3}x^2 + 2\sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

以上より、求める $S(x)$ は $$ S(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 & \left(0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\right) \\ -\sqrt{3}x^2 + 2\sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} & \left(\frac{2}{3} < x \leqq 1\right) \end{cases} $$

**(3)**

**(i)** $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ のとき

$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$ は区間内で単調増加であり、最大値は $$ S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $$

**(ii)** $\frac{2}{3} < x \leqq 1$ のとき

$S(x)$ を平方完成すると、 $$ \begin{aligned} S(x) &= -\sqrt{3}(x^2 - 2x) - \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ &= -\sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ &= -\sqrt{3}(x - 1)^2 + \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$ この区間では $x=1$ を軸とする上に凸の放物線の一部であり、単調増加である。 よって、最大値は $x=1$ のとき $$ S(1) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

**(i)**, **(ii)** の最大値を比較すると、$\frac{2\sqrt{3}}{9} < \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ であるため、全体での最大値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ となる。

解法2

**(2) の別解（座標を用いた計算による面積導出）**

はみ出す三角形 $\triangle \text{A}'\text{EF}$ の各頂点の座標を直線の方程式から直接求める。 直線 A$'$P の方程式は、点 P$(x, 0)$ を通り傾き $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ であるから $$ Y = \sqrt{3}(X - x) $$ 点 E はこれと $X=1$（辺 BC）との交点であるから、$Y = \sqrt{3}(1 - x)$。すなわち E$(1, \sqrt{3}(1 - x))$ となる。 同様に、直線 A$'$Q は点 Q$(0, \sqrt{3}x)$ を通り、点 A$'\left(\frac{3}{2}x, \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$ を通る直線である。 傾きは $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{3}x}{\frac{3}{2}x - 0} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるため、方程式は $$ Y = -\frac{1}{\sqrt{3}}X + \sqrt{3}x $$ 点 F はこれと $X=1$ との交点であるから、$Y = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}x = \frac{3x - 1}{\sqrt{3}}$。すなわち F$\left(1, \frac{3x - 1}{\sqrt{3}}\right)$ となる。 線分 EF は直線 $X=1$ 上にあるため、その長さは $Y$ 座標の差となる。$\frac{2}{3} < x \leqq 1$ においては点 F の方が上にある（$Y$ 座標が大きい）ため、 $$ \text{EF} = \frac{3x - 1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}(1 - x) = \frac{3x - 1 - 3(1 - x)}{\sqrt{3}} = \frac{6x - 4}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(3x - 2) $$ $\triangle \text{A}'\text{EF}$ の底辺を EF としたときの高さは、点 A$'$ の $X$ 座標から $1$ を引いた $\frac{3}{2}x - 1 = \frac{1}{2}(3x - 2)$ である。 よって面積は $$ \triangle \text{A}'\text{EF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}(3x - 2) \cdot \frac{1}{2}(3x - 2) = \frac{\sqrt{3}}{6}(3x - 2)^2 $$ となり、以後の計算は解法1と同様である。

解説

折り紙の折り返し問題は、折り目を軸とした線対称移動として図形を捉えるのが基本である。本問のように長方形の辺の比が $1:\sqrt{3}$ と与えられている場合、現れる直角三角形の多くが $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の角を持つことに着目すると、複雑な座標計算を回避して初等幾何的に素早く辺の長さや座標を求めることができる。 解法1では図形的性質を積極的に利用したが、解法2のように直線の方程式を立てて交点を求める方針でも十分時間内に完答可能である。 なお、(1) における $x$ の範囲について、厳密には $x=0$ のとき折り目 PQ が点となってしまい「折る」という操作ができないが、(2) の前提が $0 \leqq x \leqq 1$ となっていることから、極限として $x=0$ の状態も含めて $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ を答えとするのが妥当である。

答え

(1) $$ 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3} $$

(2) $$ S(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 & \left(0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\right) \\ -\sqrt{3}x^2 + 2\sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} & \left(\frac{2}{3} < x \leqq 1\right) \end{cases} $$

(3) 最大値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$、そのときの $x$ の値は $x=1$