解説

方針・初手

同じ式のまとまりである $x^2+2x$ に着目し、これを新しい文字 $t$ に置き換えて、関数を $t$ の2次関数として捉え直す。このとき、$x$ が実数全体を動く範囲において $t$ のとり得る値の範囲（定義域）を正確に求めておくことが重要である。また、$x=1$ のときの条件から $a$ と $b$ の関係式を導き、定義域内の最小値に関する条件を用いて場合分けを行いながら $a$、$b$ の値を特定する。

解法1

$x^2+2x=t$ とおく。

$$ t = (x+1)^2 - 1 $$

$x$ はすべての実数をとるので、$t$ のとり得る値の範囲は

$$ t \geqq -1 $$

である。

与えられた関数 $y$ は $t$ を用いて次のように表される。

$$ y = t^2 + 2at + b $$

問題の条件より、$x=1$ のとき $y=0$ である。$x=1$ のとき $t = 1^2+2\cdot 1 = 3$ であるから、$t=3$ のとき $y=0$ となる。これを代入して

$$ 3^2 + 2a \cdot 3 + b = 0 $$

$$ 6a + b + 9 = 0 $$

したがって

$$ b = -6a - 9 \quad \cdots \text{①} $$

次に、$t \geqq -1$ における関数 $y$ の最小値を考える。関数を平方完成すると

$$ y = (t+a)^2 - a^2 + b $$

となり、この2次関数のグラフは下に凸で、軸は直線 $t = -a$ である。軸の位置と定義域 $t \geqq -1$ の関係で場合分けを行う。

**(i)** $-a \geqq -1$、すなわち $a \leqq 1$ のとき

軸 $t = -a$ は定義域 $t \geqq -1$ に含まれるため、関数は $t = -a$ のとき最小値 $-a^2+b$ をとる。最小値が $-4$ であるから

$$ -a^2 + b = -4 $$

これに①を代入して $b$ を消去すると

$$ -a^2 - 6a - 9 = -4 $$

$$ a^2 + 6a + 5 = 0 $$

$$ (a+1)(a+5) = 0 $$

これより $a = -1, -5$ を得る。これらはともに条件 $a \leqq 1$ を満たす。

$a = -1$ のとき、①より

$$ b = -6 \cdot (-1) - 9 = -3 $$

$a = -5$ のとき、①より

$$ b = -6 \cdot (-5) - 9 = 21 $$

**(ii)** $-a < -1$、すなわち $a > 1$ のとき

軸 $t = -a$ は定義域 $t \geqq -1$ の左側にあるため、関数 $y$ は $t \geqq -1$ の範囲で単調増加となる。したがって、関数は $t = -1$ のとき最小値をとる。このときの最小値は

$$ (-1)^2 + 2a \cdot (-1) + b = 1 - 2a + b $$

最小値が $-4$ であるから

$$ 1 - 2a + b = -4 $$

$$ -2a + b = -5 $$

これに①を代入すると

$$ -2a + (-6a - 9) = -5 $$

$$ -8a = 4 $$

$$ a = -\frac{1}{2} $$

しかし、これは条件 $a > 1$ を満たさないため不適である。

以上より、求める定数 $a, b$ の値は $(a, b) = (-1, -3), (-5, 21)$ である。

解説

共通する式を置き換えて関数の次数を下げる、定石通りの問題である。置き換えた文字 $t$ には変域の制限が生じるため、$t \geqq -1$ を忘れないことが最大のポイントとなる。また、2次関数の最小値問題において軸に文字が含まれる場合は、軸が定義域の内部にあるか外部にあるかによって最小値をとる位置が変わるため、場合分けが必要である。導出した答えが場合分けの条件を満たすかどうかの確認も欠かせない。

答え

$a = -1, b = -3$

$a = -5, b = 21$