解説

方針・初手

2次関数を平方完成し、グラフの軸の位置と定義域の位置関係、および凸の向き（$a$ の符号）を確認する。本問では $a < 0$ であるためグラフは上に凸であり、平方完成により軸の位置が定数として求まるため、場合分けなしで最大値・最小値をとる $x$ の値が特定できる。

解法1

与えられた2次関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$ f(x) = a(x^2 - 2x) + b = a(x - 1)^2 - a + b $$

関数 $y = f(x)$ のグラフは、軸が直線 $x = 1$ の放物線である。 この軸は定義域 $-2 \leqq x \leqq 2$ に含まれる。

また、条件より $a < 0$ であるから、グラフは上に凸である。 したがって、$f(x)$ は頂点、すなわち $x = 1$ のとき最大値をとる。

最大値は $12$ であるから、

$$ f(1) = -a + b = 12 \quad \cdots (1) $$

次に最小値について考える。 グラフは軸 $x = 1$ に関して対称であるから、定義域の端点のうち、軸から遠い方で最小値をとる。 端点の $x$ 座標と軸との距離はそれぞれ、 $x = 2$ のとき $|2 - 1| = 1$ $x = -2$ のとき $|-2 - 1| = 3$ となるため、軸からより遠い $x = -2$ のとき最小値をとる。

最小値は $-6$ であるから、

$$ f(-2) = a(-2)^2 - 2a(-2) + b = 8a + b = -6 \quad \cdots (2) $$

(1), (2) を連立して解く。 (2) から (1) を引くと、

$$ 9a = -18 $$

$$ a = -2 $$

これを (1) に代入すると、

$$ -(-2) + b = 12 $$

$$ b = 10 $$

得られた $a = -2$ は、問題の条件である $a < 0$ を満たしている。

解説

文字係数を含む2次関数の最大・最小問題である。上に凸か下に凸か（$a$ の符号）、および軸の位置と定義域の位置関係を正確に把握することが重要である。本問では $a < 0$ という条件が明示されており、平方完成によって軸の位置も $x=1$ と定まるため、最大・最小をとる $x$ の値は一意に決まる。頂点で最大値をとり、軸から遠い方の端点で最小値をとるという、2次関数のグラフの対称性を利用する基本的な流れを押さえておきたい。また、求めた $a$ の値が前提条件（$a < 0$）を満たしているか最後に確認する習慣をつけるべきである。

答え

$a = -2, \ b = 10$