解説

方針・初手

(1) 2次関数と直線が接する条件は、連立して得られる2次方程式が重解をもつことである。判別式 $D=0$ を用いて $a$ と $b$ の関係式を導く。

(2) (1)で求めた $b$ を $a$ の式で表したものを利用し、放物線の軸 $x=b$ の位置を考える。$a>0$ であることから $b>1$ が確定することに気付くことが重要である。これにより、軸が区間 $0 \leqq x \leqq 2$ の中央より右側にあることが分かるため、最大値をとる位置が一つに定まる。最小値については、軸が区間内にあるか区間の右外にあるかで場合分けを行う。

(3) (2)で求めた $M(a)$ の式において、$a>0$ であることに着目すれば、相加平均と相乗平均の大小関係が利用できる。

解法1

**(1)**

放物線 $y = a(x - b)^2$ と直線 $y = -4x + 4$ が接するので、これらを連立した $x$ についての2次方程式

$$ a(x - b)^2 = -4x + 4 $$

が重解をもつ。式を展開して整理すると、

$$ ax^2 - 2(ab - 2)x + ab^2 - 4 = 0 $$

となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となる。

$$ \frac{D}{4} = (ab - 2)^2 - a(ab^2 - 4) = 0 $$

$$ a^2b^2 - 4ab + 4 - a^2b^2 + 4a = 0 $$

$$ -4ab + 4a + 4 = 0 $$

$a > 0$ であるから、両辺を $4a$ で割って $b$ について解くと、

$$ b = 1 + \frac{1}{a} $$

を得る。

**(2)**

$f(x) = a(x - b)^2$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = b$ である。 (1)より $b = 1 + \frac{1}{a}$ であり、$a > 0$ より $b > 1$ である。 定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ の中央は $x = 1$ であるため、軸 $x = b$ はつねに区間の中央より右側にある。 したがって、$f(x)$ はつねに $x = 0$ のとき最大値 $M(a)$ をとる。

$$ M(a) = f(0) = ab^2 = a \left(1 + \frac{1}{a}\right)^2 = a \left(1 + \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = a + \frac{1}{a} + 2 $$

次に、最小値 $m(a)$ については、軸 $x = b$ が定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ に含まれるか否かで場合分けをする。$b > 1$ は確定しているため、$b$ と $2$ の大小を比較する。

**(i)** $1 < b \leqq 2$ のとき

すなわち $1 + \frac{1}{a} \leqq 2$ より $\frac{1}{a} \leqq 1$。 $a > 0$ より $a \geqq 1$ である。 このとき、軸は区間内にあるため、$f(x)$ は頂点で最小となる。

$$ m(a) = f(b) = 0 $$

**(ii)** $b > 2$ のとき

すなわち $1 + \frac{1}{a} > 2$ より $\frac{1}{a} > 1$。 $a > 0$ より $0 < a < 1$ である。 このとき、軸は区間の右外にあるため、$f(x)$ は $x = 2$ で最小となる。

$$ m(a) = f(2) = a(2 - b)^2 = a \left(2 - \left(1 + \frac{1}{a}\right)\right)^2 = a \left(1 - \frac{1}{a}\right)^2 = a \left(1 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = a + \frac{1}{a} - 2 $$

**(3)**

(2)より $M(a) = a + \frac{1}{a} + 2$ である。 $a > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ a + \frac{1}{a} \geqq 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2 $$

が成り立つ。よって、

$$ M(a) = a + \frac{1}{a} + 2 \geqq 2 + 2 = 4 $$

等号が成立するのは、$a = \frac{1}{a}$ すなわち $a^2 = 1$ のときである。$a > 0$ より $a = 1$ のときに等号が成立し、最小値をとる。 したがって、$M(a)$ の最小値は $4$ である。

解説

(1)は基本的な接条件の処理である。接点をおいて微分係数を比較する解法も可能であるが、放物線と直線の場合は判別式を用いる方針が平易である。

(2)は2次関数の最大・最小問題における「軸が動く」パターンであるが、本問では $b = 1 + \frac{1}{a}$ および $a > 0$ から $b > 1$ という条件が導けることに気付くのが最大のポイントである。これにより最大値をとる位置が固定されるため、不要な場合分けを回避でき、非常に見通しよく解答を進めることができる。

(3)は(2)で正しく $M(a)$ の式を求められていれば、典型的な相加平均・相乗平均の大小関係を用いる問題に帰着する。ここでも $a > 0$ という条件が効いている。

答え

(1) $b = 1 + \frac{1}{a}$

(2) 最大値 $M(a) = a + \frac{1}{a} + 2$。最小値 $m(a)$ は、$0 < a < 1$ のとき $a + \frac{1}{a} - 2$、$a \geqq 1$ のとき $0$

(3) 最小値 $4$