解説

方針・初手

放物線の方程式を決定し、その後に与えられた分数関数の最大・最小を求める問題である。 前半の放物線の決定は、頂点の条件や通る点の条件から未知数を逆算する。空欄の形から $x^2$ の係数が読み取れることに注意する。 後半の分数関数の最大・最小については、直接微分（数学III）して増減を調べることも可能だが、分子の式を分母の式で割り算して次数を下げることで、分母の式を1つの変数（塊）とみなして処理する方針が有効である。

解法1

$f(x)$ は頂点が $(-1, -3)$ の放物線である。問題文の $f(x) = x^2 + [ア]x + [イ]$ という形から $x^2$ の係数は $1$ であるため、次のように表せる。

$$ f(x) = 1 \cdot (x+1)^2 - 3 $$

これを展開して整理する。

$$ f(x) = x^2 + 2x + 1 - 3 = x^2 + 2x - 2 $$

これより、$[ア] = 2, [イ] = -2$ である。

次に、$g(x)$ は 2点 $(1, 2), (-3, 2)$ を通る放物線である。$y$ 座標が等しいことから、この放物線の軸は $x = 1$ と $x = -3$ の中点、すなわち $x = -1$ である。 問題文の $g(x) = 3x^2 + [ウ]x + [エ]$ という形から $x^2$ の係数は $3$ であるため、頂点の $y$ 座標を $q$ とおくと、次のように表せる。

$$ g(x) = 3(x+1)^2 + q $$

点 $(1, 2)$ を通ることから、代入して $q$ を求める。

$$ 2 = 3(1+1)^2 + q $$

$$ 2 = 12 + q $$

$$ q = -10 $$

よって、$g(x)$ は以下のようになる。

$$ g(x) = 3(x+1)^2 - 10 = 3(x^2 + 2x + 1) - 10 = 3x^2 + 6x - 7 $$

これより、$[ウ] = 6, [エ] = -7$ である。

続いて、関数 $y = \frac{g(x)}{f(x)}$ の $-2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$ における最大値と最小値を求める。 $g(x)$ を $f(x)$ で割って式を変形する。

$$ g(x) = 3x^2 + 6x - 7 = 3(x^2 + 2x - 2) - 1 = 3f(x) - 1 $$

したがって、関数 $y$ は次のように書き換えられる。

$$ y = \frac{3f(x) - 1}{f(x)} = 3 - \frac{1}{f(x)} $$

ここで、$t = f(x)$ とおく。$f(x) = (x+1)^2 - 3$ であり、定義域 $-2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$ における $t$ のとりうる値の範囲を調べる。 この区間内に頂点 $x = -1$ が含まれるため、最小値は $t = f(-1) = -3$ である。 両端の値を比較する。

$$ f(-2) = (-2+1)^2 - 3 = -2 $$

$$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}+1\right)^2 - 3 = -\frac{11}{4} $$

$-2 > -\frac{11}{4}$ であるから、最大値は $t = f(-2) = -2$ である。 よって、$t$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$ -3 \leqq t \leqq -2 $$

このとき、$y$ は $t$ の関数として次のように表される。

$$ y = 3 - \frac{1}{t} $$

$t < 0$ の範囲において、関数 $y = 3 - \frac{1}{t}$ は単調増加する関数である。（$t$ が増加すると $\frac{1}{t}$ は減少するため、$3 - \frac{1}{t}$ は増加する） したがって、$y$ は $t$ が最大値をとるときに最大となり、$t$ が最小値をとるときに最小となる。

最大値をとるのは $t = -2$ のときであり、このときの $x$ の値は $f(x) = -2$ の解のうち定義域を満たすものであるから $x = -2$ である。 最大値は以下の通りである。

$$ y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $$

最小値をとるのは $t = -3$ のときであり、このときの $x$ の値は $f(x) = -3$ の解であるから、頂点の座標より $x = -1$ である。 最小値は以下の通りである。

$$ y = 3 - \frac{1}{-3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} $$

これより、$[オ] = -2, [カ] = \frac{7}{2}, [キ] = -1, [ク] = \frac{10}{3}$ である。

解説

前半は空欄の形を利用して、放物線の $x^2$ の係数を特定するのが定石である。$g(x)$ については、$y$ 座標が等しい2点が与えられているため、それらの中点に軸が存在するという性質を利用すると計算量を削減できる。連立方程式を立てて係数を比較してももちろん正解にたどり着ける。 後半は、分数関数の処理方法が最大のポイントである。分子が分母と同じ2次式であるため、直接微分するのではなく「分子の次数を下げる」操作を行う。結果として $y = 3 - \frac{1}{f(x)}$ という形が現れ、$f(x)$ の値域を求めて置き換えることで、直感的に最大・最小を判断できるようになる。分数関数を見たら、まず分子を分母で割れないか検討する習慣をつけるとよい。

答え

$[ア]$ 2

$[イ]$ -2

$[ウ]$ 6

$[エ]$ -7

$[オ]$ -2

$[カ]$ $\frac{7}{2}$

$[キ]$ -1

$[ク]$ $\frac{10}{3}$