解説

方針・初手

2次関数の区間における最小値を求める基本問題である。 関数$f(x)$を平方完成して軸の方程式を求め、その軸と指定された区間$a - 1 \leqq x \leqq a + 1$の位置関係によって場合分けを行う。 軸が区間の左外、区間内、右外の3通りに分けて考える。

解法1

**(1)**

$a = \frac{1}{2}$ のとき、関数$f(x)$と区間は次のようになる。

$$ f(x) = x^2 + \frac{1}{2}x + 1 = \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{15}{16} $$

区間は $\frac{1}{2} - 1 \leqq x \leqq \frac{1}{2} + 1$ すなわち $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ である。

軸 $x = -\frac{1}{4}$ はこの区間内にあるため、$f(x)$ は頂点で最小値をとる。

$$ m\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{15}{16} $$

**(2)**

関数$f(x)$を平方完成する。

$$ f(x) = x^2 + ax + 1 = \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + 1 - \frac{a^2}{4} $$

放物線の軸は $x = -\frac{a}{2}$ である。下に凸の放物線であるため、軸と区間 $a - 1 \leqq x \leqq a + 1$ の位置関係で場合分けを行う。

**(i)** 軸が区間の左側にあるとき $-\frac{a}{2} < a - 1$ より、$3a > 2$ すなわち $a > \frac{2}{3}$ のとき。 関数$f(x)$は区間において単調増加となるため、$x = a - 1$ で最小となる。

$$ \begin{aligned} m(a) &= f(a - 1) \\ &= (a - 1)^2 + a(a - 1) + 1 \\ &= 2a^2 - 3a + 2 \end{aligned} $$

**(ii)** 軸が区間内にあるとき $a - 1 \leqq -\frac{a}{2} \leqq a + 1$ のとき。 $a - 1 \leqq -\frac{a}{2}$ から $a \leqq \frac{2}{3}$、$-\frac{a}{2} \leqq a + 1$ から $a \geqq -\frac{2}{3}$。 すなわち、$-\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{2}{3}$ のとき。 関数$f(x)$は頂点で最小となる。

$$ m(a) = f\left(-\frac{a}{2}\right) = 1 - \frac{a^2}{4} $$

**(iii)** 軸が区間の右側にあるとき $-\frac{a}{2} > a + 1$ より、$3a < -2$ すなわち $a < -\frac{2}{3}$ のとき。 関数$f(x)$は区間において単調減少となるため、$x = a + 1$ で最小となる。

$$ \begin{aligned} m(a) &= f(a + 1) \\ &= (a + 1)^2 + a(a + 1) + 1 \\ &= 2a^2 + 3a + 2 \end{aligned} $$

**(3)**

(2)で求めた$m(a)$の最小値を、各範囲ごとに調べる。

**(i)** $a > \frac{2}{3}$ のとき

$$ m(a) = 2a^2 - 3a + 2 = 2\left( a - \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{7}{8} $$

$a > \frac{2}{3}$ の範囲に軸 $a = \frac{3}{4}$ は含まれる。 したがって、この範囲における最小値は、$a = \frac{3}{4}$ のとき $\frac{7}{8}$ である。

**(ii)** $-\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{2}{3}$ のとき

$$ m(a) = -\frac{1}{4}a^2 + 1 $$

これは $a$ について上に凸の2次関数であり、軸は $a = 0$ である。 したがって、この範囲における最小値は、端点 $a = \pm \frac{2}{3}$ でとる。

$$ m\left( \pm \frac{2}{3} \right) = -\frac{1}{4} \left( \pm \frac{2}{3} \right)^2 + 1 = -\frac{1}{9} + 1 = \frac{8}{9} $$

**(iii)** $a < -\frac{2}{3}$ のとき

$$ m(a) = 2a^2 + 3a + 2 = 2\left( a + \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{7}{8} $$

$a < -\frac{2}{3}$ の範囲に軸 $a = -\frac{3}{4}$ は含まれる。 したがって、この範囲における最小値は、$a = -\frac{3}{4}$ のとき $\frac{7}{8}$ である。

以上より、$m(a)$ の最小値の候補は $\frac{7}{8}$ と $\frac{8}{9}$ である。 これらを比較すると、

$$ \frac{7}{8} = \frac{63}{72}, \quad \frac{8}{9} = \frac{64}{72} $$

であるから、$\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$ となる。

したがって、$a$ が実数全体を動くとき、$m(a)$ の最小値は $\frac{7}{8}$ である。

解説

2次関数の最小値を求める際、軸と定義域の位置関係による場合分けの典型問題である。 関数$f(x)$の定義域の幅が $(a+1) - (a-1) = 2$ と一定であり、軸も $a$ に依存して動く設定になっている。 (1)は(2)の場合分けの具体的な状況をイメージするための導入として機能している。ここで軸と定義域の位置関係を把握しておくと、(2)の文字を含んだ場合分けの見通しが良くなる。 (3)では、(2)で得られた$m(a)$の各区間における最小値を求めて比較する。各区間における2次関数の頂点や端点の値に注目して最小値を判断すればよい。

答え

(1) $\frac{15}{16}$

(2) $a > \frac{2}{3}$ のとき $2a^2 - 3a + 2$

$-\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{2}{3}$ のとき $1 - \frac{a^2}{4}$

$a < -\frac{2}{3}$ のとき $2a^2 + 3a + 2$

(3) $\frac{7}{8}$